Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60590 / 26866
↖ ↑ ↗
← N 72.193566°
W 13.584595°		 ← 93.40 m → N 72.193566°
W 13.581848°		 →
↑
93.40 m
↓
↑
93.40 m
↓
N 72.192726°
W 13.584595°		 ← 93.40 m →
8 724 m²		 N 72.192726°
W 13.581848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462268829345703 y=0.204975128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462268829345703 × 217)
    floor (0.462268829345703 × 131072)
    floor (60590.5)     		tx = 60590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204975128173828 × 217)
    floor (0.204975128173828 × 131072)
    floor (26866.5)     		ty = 26866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60590 / 26866 ti = "17/60590/26866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60590/26866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60590 ÷ 217
    60590 ÷ 131072     		x = 0.462265014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26866 ÷ 217
    26866 ÷ 131072     		y = 0.204971313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462265014648438 × 2 - 1) × π
    -0.075469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23709591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204971313476562 × 2 - 1) × π
    0.590057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85371990830757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23709591} λ = -0.23709591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85371990830757))-π/2
    2×atan(6.38352152538535)-π/2
    2×1.41540587669392-π/2
    2.83081175338783-1.57079632675     		φ = 1.26001543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23709591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26001543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.193566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60590 KachelY 26866 -0.23709591 1.26001543 -13.584595 72.193566
    Oben rechts KachelX + 1 60591 KachelY 26866 -0.23704797 1.26001543 -13.581848 72.193566
    Unten links KachelX 60590 KachelY + 1 26867 -0.23709591 1.26000077 -13.584595 72.192726
    Unten rechts KachelX + 1 60591 KachelY + 1 26867 -0.23704797 1.26000077 -13.581848 72.192726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26001543-1.26000077) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dl = 93.3988599996443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26001543-1.26000077) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dr = 93.3988599996443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23709591--0.23704797) × cos(1.26001543) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305802217587914 × 6371000     		do = 93.3998686004225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23709591--0.23704797) × cos(1.26000077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.305816175268636 × 6371000     		du = 93.4041316353856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26001543)-sin(1.26000077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305802217587914-0.305816175268636)×R²
    abs(-0.23704797--0.23709591)×1.39576807215991e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39576807215991e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39576807215991e-05×40589641000000     		ar = 8723.64033296315m²