Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60589 / 40730
↖ ↑ ↗
← N 56.130246°
W 13.587341°		 ← 170.18 m → N 56.130246°
W 13.584595°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
N 56.128715°
W 13.587341°		 ← 170.19 m →
28 971 m²		 N 56.128715°
W 13.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462261199951172 y=0.310749053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462261199951172 × 217)
    floor (0.462261199951172 × 131072)
    floor (60589.5)     		tx = 60589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310749053955078 × 217)
    floor (0.310749053955078 × 131072)
    floor (40730.5)     		ty = 40730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60589 / 40730 ti = "17/60589/40730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60589/40730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60589 ÷ 217
    60589 ÷ 131072     		x = 0.462257385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40730 ÷ 217
    40730 ÷ 131072     		y = 0.310745239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462257385253906 × 2 - 1) × π
    -0.0754852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23714384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310745239257812 × 2 - 1) × π
    0.378509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18912273197511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23714384} λ = -0.23714384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18912273197511))-π/2
    2×atan(3.28419882064239)-π/2
    2×1.2752269617141-π/2
    2.5504539234282-1.57079632675     		φ = 0.97965760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23714384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.587341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97965760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.130246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60589 KachelY 40730 -0.23714384 0.97965760 -13.587341 56.130246
    Oben rechts KachelX + 1 60590 KachelY 40730 -0.23709591 0.97965760 -13.584595 56.130246
    Unten links KachelX 60589 KachelY + 1 40731 -0.23714384 0.97963088 -13.587341 56.128715
    Unten rechts KachelX + 1 60590 KachelY + 1 40731 -0.23709591 0.97963088 -13.584595 56.128715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97965760-0.97963088) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dl = 170.233120000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97965760-0.97963088) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dr = 170.233120000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23714384--0.23709591) × cos(0.97965760) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55730687640828 × 6371000     		do = 170.180359112997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23714384--0.23709591) × cos(0.97963088) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55732906200161 × 6371000     		du = 170.187133750813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97965760)-sin(0.97963088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55730687640828-0.55732906200161)×R²
    abs(-0.23709591--0.23714384)×2.21855933301152e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21855933301152e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21855933301152e-05×40589641000000     		ar = 28970.9101300031m²