Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60589 / 26866
↖ ↑ ↗
← N 72.193566°
W 13.587341°		 ← 93.38 m → N 72.193566°
W 13.584595°		 →
↑
93.40 m
↓
↑
93.40 m
↓
N 72.192726°
W 13.587341°		 ← 93.38 m →
8 722 m²		 N 72.192726°
W 13.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462261199951172 y=0.204975128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462261199951172 × 217)
    floor (0.462261199951172 × 131072)
    floor (60589.5)     		tx = 60589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204975128173828 × 217)
    floor (0.204975128173828 × 131072)
    floor (26866.5)     		ty = 26866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60589 / 26866 ti = "17/60589/26866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60589/26866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60589 ÷ 217
    60589 ÷ 131072     		x = 0.462257385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26866 ÷ 217
    26866 ÷ 131072     		y = 0.204971313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462257385253906 × 2 - 1) × π
    -0.0754852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23714384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204971313476562 × 2 - 1) × π
    0.590057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85371990830757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23714384} λ = -0.23714384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85371990830757))-π/2
    2×atan(6.38352152538535)-π/2
    2×1.41540587669392-π/2
    2.83081175338783-1.57079632675     		φ = 1.26001543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23714384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.587341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26001543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.193566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60589 KachelY 26866 -0.23714384 1.26001543 -13.587341 72.193566
    Oben rechts KachelX + 1 60590 KachelY 26866 -0.23709591 1.26001543 -13.584595 72.193566
    Unten links KachelX 60589 KachelY + 1 26867 -0.23714384 1.26000077 -13.587341 72.192726
    Unten rechts KachelX + 1 60590 KachelY + 1 26867 -0.23709591 1.26000077 -13.584595 72.192726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26001543-1.26000077) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dl = 93.3988599996443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26001543-1.26000077) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dr = 93.3988599996443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23714384--0.23709591) × cos(1.26001543) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.305802217587914 × 6371000     		do = 93.3803859411502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23714384--0.23709591) × cos(1.26000077) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.305816175268636 × 6371000     		du = 93.3846480868695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26001543)-sin(1.26000077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305802217587914-0.305816175268636)×R²
    abs(-0.23709591--0.23714384)×1.39576807215991e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.39576807215991e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.39576807215991e-05×40589641000000     		ar = 8721.82063327012m²