Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60588 / 41196
↖ ↑ ↗
← N 55.410307°
W 13.590088°		 ← 173.39 m → N 55.410307°
W 13.587341°		 →
↑
173.35 m
↓
↑
173.35 m
↓
N 55.408748°
W 13.590088°		 ← 173.40 m →
30 058 m²		 N 55.408748°
W 13.587341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462253570556641 y=0.314304351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462253570556641 × 217)
    floor (0.462253570556641 × 131072)
    floor (60588.5)     		tx = 60588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314304351806641 × 217)
    floor (0.314304351806641 × 131072)
    floor (41196.5)     		ty = 41196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60588 / 41196 ti = "17/60588/41196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60588/41196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60588 ÷ 217
    60588 ÷ 131072     		x = 0.462249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41196 ÷ 217
    41196 ÷ 131072     		y = 0.314300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.07550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23719178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314300537109375 × 2 - 1) × π
    0.37139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16678413675217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23719178} λ = -0.23719178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16678413675217))-π/2
    2×atan(3.21164779353621)-π/2
    2×1.26894431356646-π/2
    2.53788862713293-1.57079632675     		φ = 0.96709230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23719178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96709230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.410307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60588 KachelY 41196 -0.23719178 0.96709230 -13.590088 55.410307
    Oben rechts KachelX + 1 60589 KachelY 41196 -0.23714384 0.96709230 -13.587341 55.410307
    Unten links KachelX 60588 KachelY + 1 41197 -0.23719178 0.96706509 -13.590088 55.408748
    Unten rechts KachelX + 1 60589 KachelY + 1 41197 -0.23714384 0.96706509 -13.587341 55.408748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96709230-0.96706509) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dl = 173.354910000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96709230-0.96706509) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dr = 173.354910000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23719178--0.23714384) × cos(0.96709230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567695658246486 × 6371000     		do = 173.388866514707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23719178--0.23714384) × cos(0.96706509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.567718058356105 × 6371000     		du = 173.395708084763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96709230)-sin(0.96706509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567695658246486-0.567718058356105)×R²
    abs(-0.23714384--0.23719178)×2.24001096196247e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24001096196247e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24001096196247e-05×40589641000000     		ar = 30058.4043614439m²