Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60588 / 40541
↖ ↑ ↗
← N 56.418459°
W 13.590088°		 ← 168.94 m → N 56.418459°
W 13.587341°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.416940°
W 13.590088°		 ← 168.94 m →
28 533 m²		 N 56.416940°
W 13.587341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462253570556641 y=0.309307098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462253570556641 × 217)
    floor (0.462253570556641 × 131072)
    floor (60588.5)     		tx = 60588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309307098388672 × 217)
    floor (0.309307098388672 × 131072)
    floor (40541.5)     		ty = 40541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60588 / 40541 ti = "17/60588/40541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60588/40541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60588 ÷ 217
    60588 ÷ 131072     		x = 0.462249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40541 ÷ 217
    40541 ÷ 131072     		y = 0.309303283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.07550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23719178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309303283691406 × 2 - 1) × π
    0.381393432617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.1981828060033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23719178} λ = -0.23719178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1981828060033))-π/2
    2×atan(3.31408910471234)-π/2
    2×1.27774209973905-π/2
    2.55548419947811-1.57079632675     		φ = 0.98468787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23719178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98468787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.418459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60588 KachelY 40541 -0.23719178 0.98468787 -13.590088 56.418459
    Oben rechts KachelX + 1 60589 KachelY 40541 -0.23714384 0.98468787 -13.587341 56.418459
    Unten links KachelX 60588 KachelY + 1 40542 -0.23719178 0.98466136 -13.590088 56.416940
    Unten rechts KachelX + 1 60589 KachelY + 1 40542 -0.23714384 0.98466136 -13.587341 56.416940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98468787-0.98466136) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98468787-0.98466136) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23719178--0.23714384) × cos(0.98468787) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553123176730415 × 6371000     		do = 168.938055564025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23719178--0.23714384) × cos(0.98466136) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553145262003389 × 6371000     		du = 168.944800974866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98468787)-sin(0.98466136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553123176730415-0.553145262003389)×R²
    abs(-0.23714384--0.23719178)×2.20852729740928e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20852729740928e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20852729740928e-05×40589641000000     		ar = 28533.398006932m²