Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60587 / 83449
↖ ↑ ↗
← S 44.073774°
W 13.592835°		 ← 219.43 m → S 44.073774°
W 13.590088°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
S 44.075747°
W 13.592835°		 ← 219.42 m →
48 146 m²		 S 44.075747°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462245941162109 y=0.636669158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462245941162109 × 217)
    floor (0.462245941162109 × 131072)
    floor (60587.5)     		tx = 60587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636669158935547 × 217)
    floor (0.636669158935547 × 131072)
    floor (83449.5)     		ty = 83449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60587 / 83449 ti = "17/60587/83449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60587/83449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60587 ÷ 217
    60587 ÷ 131072     		x = 0.462242126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83449 ÷ 217
    83449 ÷ 131072     		y = 0.636665344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462242126464844 × 2 - 1) × π
    -0.0755157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23723972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636665344238281 × 2 - 1) × π
    -0.273330688476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.858693682894066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23723972} λ = -0.23723972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858693682894066))-π/2
    2×atan(0.423715227397243)-π/2
    2×0.400781930391841-π/2
    0.801563860783682-1.57079632675     		φ = -0.76923247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23723972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.592835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76923247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.073774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60587 KachelY 83449 -0.23723972 -0.76923247 -13.592835 -44.073774
    Oben rechts KachelX + 1 60588 KachelY 83449 -0.23719178 -0.76923247 -13.590088 -44.073774
    Unten links KachelX 60587 KachelY + 1 83450 -0.23723972 -0.76926691 -13.592835 -44.075747
    Unten rechts KachelX + 1 60588 KachelY + 1 83450 -0.23719178 -0.76926691 -13.590088 -44.075747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76923247--0.76926691) × R
    3.444000000008e-05 × 6371000     		dl = 219.417240000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76923247--0.76926691) × R
    3.444000000008e-05 × 6371000     		dr = 219.417240000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23723972--0.23719178) × cos(-0.76923247) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718444762776784 × 6371000     		do = 219.431523320207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23723972--0.23719178) × cos(-0.76926691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718420806437211 × 6371000     		du = 219.424206437465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76923247)-sin(-0.76926691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718444762776784-0.718420806437211)×R²
    abs(-0.23719178--0.23723972)×2.39563395731945e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39563395731945e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39563395731945e-05×40589641000000     		ar = 48146.2564958396m²