Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60587 / 41225
↖ ↑ ↗
← N 55.365064°
W 13.592835°		 ← 173.59 m → N 55.365064°
W 13.590088°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
N 55.363503°
W 13.592835°		 ← 173.59 m →
30 137 m²		 N 55.363503°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462245941162109 y=0.314525604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462245941162109 × 217)
    floor (0.462245941162109 × 131072)
    floor (60587.5)     		tx = 60587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314525604248047 × 217)
    floor (0.314525604248047 × 131072)
    floor (41225.5)     		ty = 41225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60587 / 41225 ti = "17/60587/41225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60587/41225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60587 ÷ 217
    60587 ÷ 131072     		x = 0.462242126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41225 ÷ 217
    41225 ÷ 131072     		y = 0.314521789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462242126464844 × 2 - 1) × π
    -0.0755157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23723972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314521789550781 × 2 - 1) × π
    0.370956420898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.16539396666319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23723972} λ = -0.23723972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16539396666319))-π/2
    2×atan(3.20718615877143)-π/2
    2×1.26854949096318-π/2
    2.53709898192636-1.57079632675     		φ = 0.96630266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23723972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.592835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96630266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.365064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60587 KachelY 41225 -0.23723972 0.96630266 -13.592835 55.365064
    Oben rechts KachelX + 1 60588 KachelY 41225 -0.23719178 0.96630266 -13.590088 55.365064
    Unten links KachelX 60587 KachelY + 1 41226 -0.23723972 0.96627541 -13.592835 55.363503
    Unten rechts KachelX + 1 60588 KachelY + 1 41226 -0.23719178 0.96627541 -13.590088 55.363503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96630266-0.96627541) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96630266-0.96627541) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23723972--0.23719178) × cos(0.96630266) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568345543245689 × 6371000     		do = 173.587358121503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23723972--0.23719178) × cos(0.96627541) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568367964061497 × 6371000     		du = 173.594206015763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96630266)-sin(0.96627541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568345543245689-0.568367964061497)×R²
    abs(-0.23719178--0.23723972)×2.24208158084993e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24208158084993e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24208158084993e-05×40589641000000     		ar = 30137.0522791309m²