Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60587 / 40272
↖ ↑ ↗
← N 56.824933°
W 13.592835°		 ← 167.13 m → N 56.824933°
W 13.590088°		 →
↑
167.18 m
↓
↑
167.18 m
↓
N 56.823430°
W 13.592835°		 ← 167.14 m →
27 940 m²		 N 56.823430°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462245941162109 y=0.307254791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462245941162109 × 217)
    floor (0.462245941162109 × 131072)
    floor (60587.5)     		tx = 60587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307254791259766 × 217)
    floor (0.307254791259766 × 131072)
    floor (40272.5)     		ty = 40272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60587 / 40272 ti = "17/60587/40272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60587/40272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60587 ÷ 217
    60587 ÷ 131072     		x = 0.462242126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40272 ÷ 217
    40272 ÷ 131072     		y = 0.3072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462242126464844 × 2 - 1) × π
    -0.0755157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23723972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3072509765625 × 2 - 1) × π
    0.385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2110778320011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23723972} λ = -0.23723972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2110778320011))-π/2
    2×atan(3.35710109423091)-π/2
    2×1.28128925124753-π/2
    2.56257850249507-1.57079632675     		φ = 0.99178218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23723972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.592835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99178218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.824933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60587 KachelY 40272 -0.23723972 0.99178218 -13.592835 56.824933
    Oben rechts KachelX + 1 60588 KachelY 40272 -0.23719178 0.99178218 -13.590088 56.824933
    Unten links KachelX 60587 KachelY + 1 40273 -0.23723972 0.99175594 -13.592835 56.823430
    Unten rechts KachelX + 1 60588 KachelY + 1 40273 -0.23719178 0.99175594 -13.590088 56.823430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99178218-0.99175594) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dl = 167.175039999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99178218-0.99175594) × R
    2.62399999999552e-05 × 6371000     		dr = 167.175039999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23723972--0.23719178) × cos(0.99178218) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547199041227079 × 6371000     		do = 167.128672094058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23723972--0.23719178) × cos(0.99175594) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547221003984674 × 6371000     		du = 167.135380085549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99178218)-sin(0.99175594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547199041227079-0.547221003984674)×R²
    abs(-0.23719178--0.23723972)×2.19627575943626e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19627575943626e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19627575943626e-05×40589641000000     		ar = 27940.3031481971m²