Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60586 / 26393
↖ ↑ ↗
← N 72.586583°
W 13.595581°		 ← 91.38 m → N 72.586583°
W 13.592835°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
N 72.585762°
W 13.595581°		 ← 91.39 m →
8 349 m²		 N 72.585762°
W 13.592835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462238311767578 y=0.201366424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462238311767578 × 217)
    floor (0.462238311767578 × 131072)
    floor (60586.5)     		tx = 60586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201366424560547 × 217)
    floor (0.201366424560547 × 131072)
    floor (26393.5)     		ty = 26393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60586 / 26393 ti = "17/60586/26393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60586/26393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60586 ÷ 217
    60586 ÷ 131072     		x = 0.462234497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26393 ÷ 217
    26393 ÷ 131072     		y = 0.201362609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462234497070312 × 2 - 1) × π
    -0.075531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23728765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201362609863281 × 2 - 1) × π
    0.597274780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.87639406182786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23728765} λ = -0.23728765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87639406182786))-π/2
    2×atan(6.52991588460482)-π/2
    2×1.41883559907563-π/2
    2.83767119815127-1.57079632675     		φ = 1.26687487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23728765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.595581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26687487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.586583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60586 KachelY 26393 -0.23728765 1.26687487 -13.595581 72.586583
    Oben rechts KachelX + 1 60587 KachelY 26393 -0.23723972 1.26687487 -13.592835 72.586583
    Unten links KachelX 60586 KachelY + 1 26394 -0.23728765 1.26686053 -13.595581 72.585762
    Unten rechts KachelX + 1 60587 KachelY + 1 26394 -0.23723972 1.26686053 -13.592835 72.585762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26687487-1.26686053) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26687487-1.26686053) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23728765--0.23723972) × cos(1.26687487) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299264235600495 × 6371000     		do = 91.3839344893684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23728765--0.23723972) × cos(1.26686053) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.299277918371495 × 6371000     		du = 91.3881126880972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26687487)-sin(1.26686053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299264235600495-0.299277918371495)×R²
    abs(-0.23723972--0.23728765)×1.3682771000445e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.3682771000445e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.3682771000445e-05×40589641000000     		ar = 8349.03990918446m²