Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60585 / 82617
↖ ↑ ↗
← S 42.409263°
W 13.598328°		 ← 225.51 m → S 42.409263°
W 13.595581°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 42.411291°
W 13.598328°		 ← 225.50 m →
50 845 m²		 S 42.411291°
W 13.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462230682373047 y=0.630321502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462230682373047 × 217)
    floor (0.462230682373047 × 131072)
    floor (60585.5)     		tx = 60585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630321502685547 × 217)
    floor (0.630321502685547 × 131072)
    floor (82617.5)     		ty = 82617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60585 / 82617 ti = "17/60585/82617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60585/82617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60585 ÷ 217
    60585 ÷ 131072     		x = 0.462226867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82617 ÷ 217
    82617 ÷ 131072     		y = 0.630317687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462226867675781 × 2 - 1) × π
    -0.0755462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23733559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630317687988281 × 2 - 1) × π
    -0.260635375976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.818810182410179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23733559} λ = -0.23733559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818810182410179))-π/2
    2×atan(0.440955999711361)-π/2
    2×0.415307530348309-π/2
    0.830615060696617-1.57079632675     		φ = -0.74018127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23733559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.598328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74018127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.409263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60585 KachelY 82617 -0.23733559 -0.74018127 -13.598328 -42.409263
    Oben rechts KachelX + 1 60586 KachelY 82617 -0.23728765 -0.74018127 -13.595581 -42.409263
    Unten links KachelX 60585 KachelY + 1 82618 -0.23733559 -0.74021666 -13.598328 -42.411291
    Unten rechts KachelX + 1 60586 KachelY + 1 82618 -0.23728765 -0.74021666 -13.595581 -42.411291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74018127--0.74021666) × R
    3.53899999999685e-05 × 6371000     		dl = 225.469689999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74018127--0.74021666) × R
    3.53899999999685e-05 × 6371000     		dr = 225.469689999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23733559--0.23728765) × cos(-0.74018127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738346318427916 × 6371000     		do = 225.509970682235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23733559--0.23728765) × cos(-0.74021666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738322450179366 × 6371000     		du = 225.502680704759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74018127)-sin(-0.74021666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738346318427916-0.738322450179366)×R²
    abs(-0.23728765--0.23733559)×2.38682485502739e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38682485502739e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38682485502739e-05×40589641000000     		ar = 50844.8413525552m²