Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60583 / 40539
↖ ↑ ↗
← N 56.421497°
W 13.603821°		 ← 168.89 m → N 56.421497°
W 13.601074°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.419979°
W 13.603821°		 ← 168.90 m →
28 525 m²		 N 56.419979°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462215423583984 y=0.309291839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462215423583984 × 217)
    floor (0.462215423583984 × 131072)
    floor (60583.5)     		tx = 60583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309291839599609 × 217)
    floor (0.309291839599609 × 131072)
    floor (40539.5)     		ty = 40539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60583 / 40539 ti = "17/60583/40539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60583/40539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60583 ÷ 217
    60583 ÷ 131072     		x = 0.462211608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40539 ÷ 217
    40539 ÷ 131072     		y = 0.309288024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462211608886719 × 2 - 1) × π
    -0.0755767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23743146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309288024902344 × 2 - 1) × π
    0.381423950195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19827867980254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23743146} λ = -0.23743146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19827867980254))-π/2
    2×atan(3.31440685425751)-π/2
    2×1.27776861369025-π/2
    2.55553722738051-1.57079632675     		φ = 0.98474090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23743146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.603821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98474090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.421497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60583 KachelY 40539 -0.23743146 0.98474090 -13.603821 56.421497
    Oben rechts KachelX + 1 60584 KachelY 40539 -0.23738353 0.98474090 -13.601074 56.421497
    Unten links KachelX 60583 KachelY + 1 40540 -0.23743146 0.98471439 -13.603821 56.419979
    Unten rechts KachelX + 1 60584 KachelY + 1 40540 -0.23738353 0.98471439 -13.601074 56.419979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98474090-0.98471439) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98474090-0.98471439) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23743146--0.23738353) × cos(0.98474090) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553078996687022 × 6371000     		do = 168.889325178718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23743146--0.23738353) × cos(0.98471439) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553101082737575 × 6371000     		du = 168.896069419949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98474090)-sin(0.98471439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553078996687022-0.553101082737575)×R²
    abs(-0.23738353--0.23743146)×2.2086050553094e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2086050553094e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2086050553094e-05×40589641000000     		ar = 28525.16757941m²