Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60582 / 33656
↖ ↑ ↗
← N 65.522069°
W 13.606567°		 ← 126.55 m → N 65.522069°
W 13.603821°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 65.520930°
W 13.606567°		 ← 126.56 m →
16 021 m²		 N 65.520930°
W 13.603821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462207794189453 y=0.256778717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462207794189453 × 217)
    floor (0.462207794189453 × 131072)
    floor (60582.5)     		tx = 60582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256778717041016 × 217)
    floor (0.256778717041016 × 131072)
    floor (33656.5)     		ty = 33656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60582 / 33656 ti = "17/60582/33656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60582/33656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60582 ÷ 217
    60582 ÷ 131072     		x = 0.462203979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33656 ÷ 217
    33656 ÷ 131072     		y = 0.25677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462203979492188 × 2 - 1) × π
    -0.075592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23747940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25677490234375 × 2 - 1) × π
    0.4864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23747940} λ = -0.23747940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52822835988739))-π/2
    2×atan(4.610002318272)-π/2
    2×1.35718607612273-π/2
    2.71437215224546-1.57079632675     		φ = 1.14357583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23747940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.606567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14357583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.522069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60582 KachelY 33656 -0.23747940 1.14357583 -13.606567 65.522069
    Oben rechts KachelX + 1 60583 KachelY 33656 -0.23743146 1.14357583 -13.603821 65.522069
    Unten links KachelX 60582 KachelY + 1 33657 -0.23747940 1.14355596 -13.606567 65.520930
    Unten rechts KachelX + 1 60583 KachelY + 1 33657 -0.23743146 1.14355596 -13.603821 65.520930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14357583-1.14355596) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14357583-1.14355596) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23747940--0.23743146) × cos(1.14357583) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		do = 126.550932533088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23747940--0.23743146) × cos(1.14355596) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414360806193426 × 6371000     		du = 126.556455858614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14357583)-sin(1.14355596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414342722172328-0.414360806193426)×R²
    abs(-0.23743146--0.23747940)×1.80840210980415e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80840210980415e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80840210980415e-05×40589641000000     		ar = 16020.656148989m²