Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60582 / 26340
↖ ↑ ↗
← N 72.630094°
W 13.606567°		 ← 91.18 m → N 72.630094°
W 13.603821°		 →
↑
91.17 m
↓
↑
91.17 m
↓
N 72.629274°
W 13.606567°		 ← 91.19 m →
8 313 m²		 N 72.629274°
W 13.603821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462207794189453 y=0.200962066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462207794189453 × 217)
    floor (0.462207794189453 × 131072)
    floor (60582.5)     		tx = 60582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200962066650391 × 217)
    floor (0.200962066650391 × 131072)
    floor (26340.5)     		ty = 26340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60582 / 26340 ti = "17/60582/26340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60582/26340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60582 ÷ 217
    60582 ÷ 131072     		x = 0.462203979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26340 ÷ 217
    26340 ÷ 131072     		y = 0.200958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462203979492188 × 2 - 1) × π
    -0.075592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23747940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200958251953125 × 2 - 1) × π
    0.59808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87893471750772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23747940} λ = -0.23747940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87893471750772))-π/2
    2×atan(6.54652724542475)-π/2
    2×1.41921530229973-π/2
    2.83843060459946-1.57079632675     		φ = 1.26763428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23747940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.606567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26763428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.630094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60582 KachelY 26340 -0.23747940 1.26763428 -13.606567 72.630094
    Oben rechts KachelX + 1 60583 KachelY 26340 -0.23743146 1.26763428 -13.603821 72.630094
    Unten links KachelX 60582 KachelY + 1 26341 -0.23747940 1.26761997 -13.606567 72.629274
    Unten rechts KachelX + 1 60583 KachelY + 1 26341 -0.23743146 1.26761997 -13.603821 72.629274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26763428-1.26761997) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dl = 91.1690100004643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26763428-1.26761997) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dr = 91.1690100004643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23747940--0.23743146) × cos(1.26763428) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298539542926804 × 6371000     		do = 91.1816608176739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23747940--0.23743146) × cos(1.26761997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298553200321113 × 6371000     		du = 91.1858321374372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26763428)-sin(1.26761997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298539542926804-0.298553200321113)×R²
    abs(-0.23743146--0.23747940)×1.36573943089191e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36573943089191e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36573943089191e-05×40589641000000     		ar = 8313.13189459743m²