Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60581 / 33654
↖ ↑ ↗
← N 65.524344°
W 13.609314°		 ← 126.54 m → N 65.524344°
W 13.606567°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 65.523207°
W 13.609314°		 ← 126.55 m →
16 011 m²		 N 65.523207°
W 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462200164794922 y=0.256763458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462200164794922 × 217)
    floor (0.462200164794922 × 131072)
    floor (60581.5)     		tx = 60581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256763458251953 × 217)
    floor (0.256763458251953 × 131072)
    floor (33654.5)     		ty = 33654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60581 / 33654 ti = "17/60581/33654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60581/33654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60581 ÷ 217
    60581 ÷ 131072     		x = 0.462196350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33654 ÷ 217
    33654 ÷ 131072     		y = 0.256759643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462196350097656 × 2 - 1) × π
    -0.0756072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23752734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256759643554688 × 2 - 1) × π
    0.486480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52832423368663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23752734} λ = -0.23752734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52832423368663))-π/2
    2×atan(4.61044431789651)-π/2
    2×1.35720593756187-π/2
    2.71441187512374-1.57079632675     		φ = 1.14361555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23752734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.609314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14361555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.524344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60581 KachelY 33654 -0.23752734 1.14361555 -13.609314 65.524344
    Oben rechts KachelX + 1 60582 KachelY 33654 -0.23747940 1.14361555 -13.606567 65.524344
    Unten links KachelX 60581 KachelY + 1 33655 -0.23752734 1.14359569 -13.609314 65.523207
    Unten rechts KachelX + 1 60582 KachelY + 1 33655 -0.23747940 1.14359569 -13.606567 65.523207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14361555-1.14359569) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14361555-1.14359569) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23752734--0.23747940) × cos(1.14361555) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414306571842119 × 6371000     		do = 126.539891291733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23752734--0.23747940) × cos(1.14359569) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414324647088933 × 6371000     		du = 126.545411937366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14361555)-sin(1.14359569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414306571842119-0.414324647088933)×R²
    abs(-0.23747940--0.23752734)×1.80752468137424e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80752468137424e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80752468137424e-05×40589641000000     		ar = 16011.1962166333m²