Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60581 / 26339
↖ ↑ ↗
← N 72.630914°
W 13.609314°		 ← 91.18 m → N 72.630914°
W 13.606567°		 →
↑
91.17 m
↓
↑
91.17 m
↓
N 72.630094°
W 13.609314°		 ← 91.18 m →
8 313 m²		 N 72.630094°
W 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462200164794922 y=0.200954437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462200164794922 × 217)
    floor (0.462200164794922 × 131072)
    floor (60581.5)     		tx = 60581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200954437255859 × 217)
    floor (0.200954437255859 × 131072)
    floor (26339.5)     		ty = 26339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60581 / 26339 ti = "17/60581/26339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60581/26339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60581 ÷ 217
    60581 ÷ 131072     		x = 0.462196350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26339 ÷ 217
    26339 ÷ 131072     		y = 0.200950622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462196350097656 × 2 - 1) × π
    -0.0756072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23752734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200950622558594 × 2 - 1) × π
    0.598098754882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.87898265440734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23752734} λ = -0.23752734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87898265440734))-π/2
    2×atan(6.54684107316607)-π/2
    2×1.41922245766615-π/2
    2.8384449153323-1.57079632675     		φ = 1.26764859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23752734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.609314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26764859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.630914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60581 KachelY 26339 -0.23752734 1.26764859 -13.609314 72.630914
    Oben rechts KachelX + 1 60582 KachelY 26339 -0.23747940 1.26764859 -13.606567 72.630914
    Unten links KachelX 60581 KachelY + 1 26340 -0.23752734 1.26763428 -13.609314 72.630094
    Unten rechts KachelX + 1 60582 KachelY + 1 26340 -0.23747940 1.26763428 -13.606567 72.630094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26764859-1.26763428) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dl = 91.1690100004643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26764859-1.26763428) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dr = 91.1690100004643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23752734--0.23747940) × cos(1.26764859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298525885471361 × 6371000     		do = 91.1774894792388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23752734--0.23747940) × cos(1.26763428) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298539542926804 × 6371000     		du = 91.1816608176739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26764859)-sin(1.26763428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298525885471361-0.298539542926804)×R²
    abs(-0.23747940--0.23752734)×1.36574554426283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36574554426283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36574554426283e-05×40589641000000     		ar = 8312.75159860034m²