Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60579 / 41235
↖ ↑ ↗
← N 55.349450°
W 13.614807°		 ← 173.66 m → N 55.349450°
W 13.612060°		 →
↑
173.61 m
↓
↑
173.61 m
↓
N 55.347889°
W 13.614807°		 ← 173.66 m →
30 149 m²		 N 55.347889°
W 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462184906005859 y=0.314601898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462184906005859 × 217)
    floor (0.462184906005859 × 131072)
    floor (60579.5)     		tx = 60579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314601898193359 × 217)
    floor (0.314601898193359 × 131072)
    floor (41235.5)     		ty = 41235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60579 / 41235 ti = "17/60579/41235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60579/41235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60579 ÷ 217
    60579 ÷ 131072     		x = 0.462181091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41235 ÷ 217
    41235 ÷ 131072     		y = 0.314598083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462181091308594 × 2 - 1) × π
    -0.0756378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23762321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314598083496094 × 2 - 1) × π
    0.370803833007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.16491459766698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23762321} λ = -0.23762321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16491459766698))-π/2
    2×atan(3.20564910160008)-π/2
    2×1.26841324047943-π/2
    2.53682648095887-1.57079632675     		φ = 0.96603015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23762321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.614807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96603015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.349450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60579 KachelY 41235 -0.23762321 0.96603015 -13.614807 55.349450
    Oben rechts KachelX + 1 60580 KachelY 41235 -0.23757527 0.96603015 -13.612060 55.349450
    Unten links KachelX 60579 KachelY + 1 41236 -0.23762321 0.96600290 -13.614807 55.347889
    Unten rechts KachelX + 1 60580 KachelY + 1 41236 -0.23757527 0.96600290 -13.612060 55.347889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96603015-0.96600290) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dl = 173.609750000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96603015-0.96600290) × R
    2.72500000000342e-05 × 6371000     		dr = 173.609750000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23762321--0.23757527) × cos(0.96603015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.568569740635933 × 6371000     		do = 173.655833775324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23762321--0.23757527) × cos(0.96600290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56859215723035 × 6371000     		du = 173.662680380263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96603015)-sin(0.96600290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568569740635933-0.56859215723035)×R²
    abs(-0.23757527--0.23762321)×2.24165944170407e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24165944170407e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24165944170407e-05×40589641000000     		ar = 30148.9402083806m²