Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60579 / 32933
↖ ↑ ↗
← N 66.331993°
W 13.614807°		 ← 122.61 m → N 66.331993°
W 13.612060°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 66.330890°
W 13.614807°		 ← 122.61 m →
15 030 m²		 N 66.330890°
W 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462184906005859 y=0.251262664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462184906005859 × 217)
    floor (0.462184906005859 × 131072)
    floor (60579.5)     		tx = 60579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251262664794922 × 217)
    floor (0.251262664794922 × 131072)
    floor (32933.5)     		ty = 32933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60579 / 32933 ti = "17/60579/32933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60579/32933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60579 ÷ 217
    60579 ÷ 131072     		x = 0.462181091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32933 ÷ 217
    32933 ÷ 131072     		y = 0.251258850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462181091308594 × 2 - 1) × π
    -0.0756378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23762321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251258850097656 × 2 - 1) × π
    0.497482299804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.56288673831269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23762321} λ = -0.23762321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56288673831269))-π/2
    2×atan(4.77257856408568)-π/2
    2×1.3642539997027-π/2
    2.7285079994054-1.57079632675     		φ = 1.15771167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23762321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.614807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15771167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.331993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60579 KachelY 32933 -0.23762321 1.15771167 -13.614807 66.331993
    Oben rechts KachelX + 1 60580 KachelY 32933 -0.23757527 1.15771167 -13.612060 66.331993
    Unten links KachelX 60579 KachelY + 1 32934 -0.23762321 1.15769243 -13.614807 66.330890
    Unten rechts KachelX + 1 60580 KachelY + 1 32934 -0.23757527 1.15769243 -13.612060 66.330890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15771167-1.15769243) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15771167-1.15769243) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23762321--0.23757527) × cos(1.15771167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.401436430072082 × 6371000     		do = 122.609018717714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23762321--0.23757527) × cos(1.15769243) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.401454051661515 × 6371000     		du = 122.614400804707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15771167)-sin(1.15769243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401436430072082-0.401454051661515)×R²
    abs(-0.23757527--0.23762321)×1.76215894332477e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76215894332477e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76215894332477e-05×40589641000000     		ar = 15029.5030640997m²