Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60578 / 40116
↖ ↑ ↗
← N 57.058656°
W 13.617554°		 ← 166.08 m → N 57.058656°
W 13.614807°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.057163°
W 13.617554°		 ← 166.09 m →
27 575 m²		 N 57.057163°
W 13.614807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462177276611328 y=0.306064605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462177276611328 × 217)
    floor (0.462177276611328 × 131072)
    floor (60578.5)     		tx = 60578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306064605712891 × 217)
    floor (0.306064605712891 × 131072)
    floor (40116.5)     		ty = 40116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60578 / 40116 ti = "17/60578/40116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60578/40116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60578 ÷ 217
    60578 ÷ 131072     		x = 0.462173461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40116 ÷ 217
    40116 ÷ 131072     		y = 0.306060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462173461914062 × 2 - 1) × π
    -0.075653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23767115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306060791015625 × 2 - 1) × π
    0.38787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21855598834183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23767115} λ = -0.23767115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21855598834183))-π/2
    2×atan(3.38230012477693)-π/2
    2×1.28332887566365-π/2
    2.5666577513273-1.57079632675     		φ = 0.99586142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23767115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.617554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99586142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.058656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60578 KachelY 40116 -0.23767115 0.99586142 -13.617554 57.058656
    Oben rechts KachelX + 1 60579 KachelY 40116 -0.23762321 0.99586142 -13.614807 57.058656
    Unten links KachelX 60578 KachelY + 1 40117 -0.23767115 0.99583536 -13.617554 57.057163
    Unten rechts KachelX + 1 60579 KachelY + 1 40117 -0.23762321 0.99583536 -13.614807 57.057163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99586142-0.99583536) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dl = 166.028260000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99586142-0.99583536) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dr = 166.028260000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23767115--0.23762321) × cos(0.99586142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54378016381487 × 6371000     		do = 166.084458930465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23767115--0.23762321) × cos(0.99583536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543802033904098 × 6371000     		du = 166.091138618652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99586142)-sin(0.99583536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54378016381487-0.543802033904098)×R²
    abs(-0.23762321--0.23767115)×2.18700892279378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18700892279378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18700892279378e-05×40589641000000     		ar = 27575.2682393356m²