Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60576 / 40545
↖ ↑ ↗
← N 56.412382°
W 13.623047°		 ← 168.93 m → N 56.412382°
W 13.620301°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 56.410862°
W 13.623047°		 ← 168.94 m →
28 543 m²		 N 56.410862°
W 13.620301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462162017822266 y=0.309337615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462162017822266 × 217)
    floor (0.462162017822266 × 131072)
    floor (60576.5)     		tx = 60576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309337615966797 × 217)
    floor (0.309337615966797 × 131072)
    floor (40545.5)     		ty = 40545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60576 / 40545 ti = "17/60576/40545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60576/40545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60576 ÷ 217
    60576 ÷ 131072     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40545 ÷ 217
    40545 ÷ 131072     		y = 0.309333801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309333801269531 × 2 - 1) × π
    0.381332397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19799105840482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19799105840482))-π/2
    2×atan(3.31345369700625)-π/2
    2×1.27768906548311-π/2
    2.55537813096621-1.57079632675     		φ = 0.98458180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98458180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.412382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60576 KachelY 40545 -0.23776702 0.98458180 -13.623047 56.412382
    Oben rechts KachelX + 1 60577 KachelY 40545 -0.23771909 0.98458180 -13.620301 56.412382
    Unten links KachelX 60576 KachelY + 1 40546 -0.23776702 0.98455528 -13.623047 56.410862
    Unten rechts KachelX + 1 60577 KachelY + 1 40546 -0.23771909 0.98455528 -13.620301 56.410862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98458180-0.98455528) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dl = 168.958919999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98458180-0.98455528) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dr = 168.958919999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23771909) × cos(0.98458180) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553211540481037 × 6371000     		do = 168.929799020722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23771909) × cos(0.98455528) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553233632528781 × 6371000     		du = 168.936545093268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98458180)-sin(0.98455528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553211540481037-0.553233632528781)×R²
    abs(-0.23771909--0.23776702)×2.20920477443931e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20920477443931e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20920477443931e-05×40589641000000     		ar = 28542.766304542m²