Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60574 / 26785
↖ ↑ ↗
← N 72.261473°
W 13.628540°		 ← 93.06 m → N 72.261473°
W 13.625794°		 →
↑
93.08 m
↓
↑
93.08 m
↓
N 72.260636°
W 13.628540°		 ← 93.06 m →
8 662 m²		 N 72.260636°
W 13.625794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462146759033203 y=0.204357147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462146759033203 × 217)
    floor (0.462146759033203 × 131072)
    floor (60574.5)     		tx = 60574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204357147216797 × 217)
    floor (0.204357147216797 × 131072)
    floor (26785.5)     		ty = 26785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60574 / 26785 ti = "17/60574/26785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60574/26785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60574 ÷ 217
    60574 ÷ 131072     		x = 0.462142944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26785 ÷ 217
    26785 ÷ 131072     		y = 0.204353332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462142944335938 × 2 - 1) × π
    -0.075714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23786290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204353332519531 × 2 - 1) × π
    0.591293334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.8576027971768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23786290} λ = -0.23786290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8576027971768))-π/2
    2×atan(6.40835621402842)-π/2
    2×1.4159984785109-π/2
    2.8319969570218-1.57079632675     		φ = 1.26120063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23786290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26120063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.261473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60574 KachelY 26785 -0.23786290 1.26120063 -13.628540 72.261473
    Oben rechts KachelX + 1 60575 KachelY 26785 -0.23781496 1.26120063 -13.625794 72.261473
    Unten links KachelX 60574 KachelY + 1 26786 -0.23786290 1.26118602 -13.628540 72.260636
    Unten rechts KachelX + 1 60575 KachelY + 1 26786 -0.23781496 1.26118602 -13.625794 72.260636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26120063-1.26118602) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dl = 93.0803100001656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26120063-1.26118602) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dr = 93.0803100001656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23786290--0.23781496) × cos(1.26120063) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.304673580006694 × 6371000     		do = 93.0551536319865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23786290--0.23781496) × cos(1.26118602) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.304687495368437 × 6371000     		du = 93.0594037416443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26120063)-sin(1.26118602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304673580006694-0.304687495368437)×R²
    abs(-0.23781496--0.23786290)×1.39153617433885e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39153617433885e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39153617433885e-05×40589641000000     		ar = 8661.80034809251m²