Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60572 / 82616
↖ ↑ ↗
← S 42.407235°
W 13.634033°		 ← 225.52 m → S 42.407235°
W 13.631286°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
S 42.409263°
W 13.634033°		 ← 225.51 m →
50 861 m²		 S 42.409263°
W 13.631286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462131500244141 y=0.630313873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462131500244141 × 217)
    floor (0.462131500244141 × 131072)
    floor (60572.5)     		tx = 60572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630313873291016 × 217)
    floor (0.630313873291016 × 131072)
    floor (82616.5)     		ty = 82616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60572 / 82616 ti = "17/60572/82616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60572/82616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60572 ÷ 217
    60572 ÷ 131072     		x = 0.462127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82616 ÷ 217
    82616 ÷ 131072     		y = 0.63031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.818762245510559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23795877} λ = -0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818762245510559))-π/2
    2×atan(0.44097713828151)-π/2
    2×0.415325227651116-π/2
    0.830650455302233-1.57079632675     		φ = -0.74014587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74014587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.407235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60572 KachelY 82616 -0.23795877 -0.74014587 -13.634033 -42.407235
    Oben rechts KachelX + 1 60573 KachelY 82616 -0.23791083 -0.74014587 -13.631286 -42.407235
    Unten links KachelX 60572 KachelY + 1 82617 -0.23795877 -0.74018127 -13.634033 -42.409263
    Unten rechts KachelX + 1 60573 KachelY + 1 82617 -0.23791083 -0.74018127 -13.631286 -42.409263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74014587--0.74018127) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dl = 225.533400000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74014587--0.74018127) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dr = 225.533400000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(-0.74014587) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73837019249568 × 6371000     		do = 225.517262436918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(-0.74018127) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.738346318427916 × 6371000     		du = 225.509970682105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74014587)-sin(-0.74018127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73837019249568-0.738346318427916)×R²
    abs(-0.23791083--0.23795877)×2.38740677631633e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38740677631633e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38740677631633e-05×40589641000000     		ar = 50860.8526941934m²