Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60572 / 40111
↖ ↑ ↗
← N 57.066124°
W 13.634033°		 ← 166.05 m → N 57.066124°
W 13.631286°		 →
↑
166.09 m
↓
↑
166.09 m
↓
N 57.064630°
W 13.634033°		 ← 166.06 m →
27 580 m²		 N 57.064630°
W 13.631286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462131500244141 y=0.306026458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462131500244141 × 217)
    floor (0.462131500244141 × 131072)
    floor (60572.5)     		tx = 60572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306026458740234 × 217)
    floor (0.306026458740234 × 131072)
    floor (40111.5)     		ty = 40111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60572 / 40111 ti = "17/60572/40111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60572/40111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60572 ÷ 217
    60572 ÷ 131072     		x = 0.462127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40111 ÷ 217
    40111 ÷ 131072     		y = 0.306022644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306022644042969 × 2 - 1) × π
    0.387954711914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.21879567283993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23795877} λ = -0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21879567283993))-π/2
    2×atan(3.38311090684683)-π/2
    2×1.28339403694702-π/2
    2.56678807389403-1.57079632675     		φ = 0.99599175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99599175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.066124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60572 KachelY 40111 -0.23795877 0.99599175 -13.634033 57.066124
    Oben rechts KachelX + 1 60573 KachelY 40111 -0.23791083 0.99599175 -13.631286 57.066124
    Unten links KachelX 60572 KachelY + 1 40112 -0.23795877 0.99596568 -13.634033 57.064630
    Unten rechts KachelX + 1 60573 KachelY + 1 40112 -0.23791083 0.99596568 -13.631286 57.064630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99599175-0.99596568) × R
    2.60699999999892e-05 × 6371000     		dl = 166.091969999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99599175-0.99596568) × R
    2.60699999999892e-05 × 6371000     		dr = 166.091969999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(0.99599175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543670782650662 × 6371000     		do = 166.051051107445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(0.99596568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54369266297948 × 6371000     		du = 166.057733923066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99599175)-sin(0.99596568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543670782650662-0.54369266297948)×R²
    abs(-0.23791083--0.23795877)×2.18803288182245e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18803288182245e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18803288182245e-05×40589641000000     		ar = 27580.3011815112m²