Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60572 / 40107
↖ ↑ ↗
← N 57.072096°
W 13.634033°		 ← 166.02 m → N 57.072096°
W 13.631286°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.070603°
W 13.634033°		 ← 166.03 m →
27 565 m²		 N 57.070603°
W 13.631286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462131500244141 y=0.305995941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462131500244141 × 217)
    floor (0.462131500244141 × 131072)
    floor (60572.5)     		tx = 60572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305995941162109 × 217)
    floor (0.305995941162109 × 131072)
    floor (40107.5)     		ty = 40107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60572 / 40107 ti = "17/60572/40107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60572/40107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60572 ÷ 217
    60572 ÷ 131072     		x = 0.462127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40107 ÷ 217
    40107 ÷ 131072     		y = 0.305992126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305992126464844 × 2 - 1) × π
    0.388015747070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21898742043841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23795877} λ = -0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21898742043841))-π/2
    2×atan(3.38375967243624)-π/2
    2×1.28344615653662-π/2
    2.56689231307324-1.57079632675     		φ = 0.99609599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99609599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.072096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60572 KachelY 40107 -0.23795877 0.99609599 -13.634033 57.072096
    Oben rechts KachelX + 1 60573 KachelY 40107 -0.23791083 0.99609599 -13.631286 57.072096
    Unten links KachelX 60572 KachelY + 1 40108 -0.23795877 0.99606993 -13.634033 57.070603
    Unten rechts KachelX + 1 60573 KachelY + 1 40108 -0.23791083 0.99606993 -13.631286 57.070603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99609599-0.99606993) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dl = 166.028260000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99609599-0.99606993) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dr = 166.028260000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(0.99609599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543583291214717 × 6371000     		do = 166.024328970878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(0.99606993) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543605164627481 × 6371000     		du = 166.031009674157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99609599)-sin(0.99606993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543583291214717-0.543605164627481)×R²
    abs(-0.23791083--0.23795877)×2.18734127638287e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18734127638287e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18734127638287e-05×40589641000000     		ar = 27565.2850511149m²