Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60572 / 32938
↖ ↑ ↗
← N 66.326479°
W 13.634033°		 ← 122.64 m → N 66.326479°
W 13.631286°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 66.325377°
W 13.634033°		 ← 122.64 m →
15 033 m²		 N 66.325377°
W 13.631286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462131500244141 y=0.251300811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462131500244141 × 217)
    floor (0.462131500244141 × 131072)
    floor (60572.5)     		tx = 60572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251300811767578 × 217)
    floor (0.251300811767578 × 131072)
    floor (32938.5)     		ty = 32938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60572 / 32938 ti = "17/60572/32938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60572/32938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60572 ÷ 217
    60572 ÷ 131072     		x = 0.462127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32938 ÷ 217
    32938 ÷ 131072     		y = 0.251296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251296997070312 × 2 - 1) × π
    0.497406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56264705381459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23795877} λ = -0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56264705381459))-π/2
    2×atan(4.77143478806607)-π/2
    2×1.3642058853775-π/2
    2.728411770755-1.57079632675     		φ = 1.15761544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15761544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.326479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60572 KachelY 32938 -0.23795877 1.15761544 -13.634033 66.326479
    Oben rechts KachelX + 1 60573 KachelY 32938 -0.23791083 1.15761544 -13.631286 66.326479
    Unten links KachelX 60572 KachelY + 1 32939 -0.23795877 1.15759620 -13.634033 66.325377
    Unten rechts KachelX + 1 60573 KachelY + 1 32939 -0.23791083 1.15759620 -13.631286 66.325377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15761544-1.15759620) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15761544-1.15759620) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(1.15761544) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.401524564008537 × 6371000     		do = 122.635937090475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23795877--0.23791083) × cos(1.15759620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.401542184854627 × 6371000     		du = 122.641318950432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15761544)-sin(1.15759620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401524564008537-0.401542184854627)×R²
    abs(-0.23791083--0.23795877)×1.76208460897498e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76208460897498e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76208460897498e-05×40589641000000     		ar = 15032.8026516053m²