Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60571 / 84291
↖ ↑ ↗
← S 45.711933°
W 13.636780°		 ← 213.27 m → S 45.711933°
W 13.634033°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
S 45.713851°
W 13.636780°		 ← 213.26 m →
45 476 m²		 S 45.713851°
W 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462123870849609 y=0.643093109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462123870849609 × 217)
    floor (0.462123870849609 × 131072)
    floor (60571.5)     		tx = 60571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643093109130859 × 217)
    floor (0.643093109130859 × 131072)
    floor (84291.5)     		ty = 84291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60571 / 84291 ti = "17/60571/84291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60571/84291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60571 ÷ 217
    60571 ÷ 131072     		x = 0.462120056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84291 ÷ 217
    84291 ÷ 131072     		y = 0.643089294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462120056152344 × 2 - 1) × π
    -0.0757598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23800671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643089294433594 × 2 - 1) × π
    -0.286178588867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.899056552374153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23800671} λ = -0.23800671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899056552374153))-π/2
    2×atan(0.406953417920229)-π/2
    2×0.386486293228172-π/2
    0.772972586456344-1.57079632675     		φ = -0.79782374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23800671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.636780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79782374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.711933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60571 KachelY 84291 -0.23800671 -0.79782374 -13.636780 -45.711933
    Oben rechts KachelX + 1 60572 KachelY 84291 -0.23795877 -0.79782374 -13.634033 -45.711933
    Unten links KachelX 60571 KachelY + 1 84292 -0.23800671 -0.79785721 -13.636780 -45.713851
    Unten rechts KachelX + 1 60572 KachelY + 1 84292 -0.23795877 -0.79785721 -13.634033 -45.713851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79782374--0.79785721) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dl = 213.237369999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79782374--0.79785721) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dr = 213.237369999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23800671--0.23795877) × cos(-0.79782374) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698266211642933 × 6371000     		do = 213.268474408147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23800671--0.23795877) × cos(-0.79785721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698242252147993 × 6371000     		du = 213.261156561674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79782374)-sin(-0.79785721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698266211642933-0.698242252147993)×R²
    abs(-0.23795877--0.23800671)×2.39594949402733e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39594949402733e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39594949402733e-05×40589641000000     		ar = 45476.0283717368m²