Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60571 / 40110
↖ ↑ ↗
← N 57.067617°
W 13.636780°		 ← 166.04 m → N 57.067617°
W 13.634033°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.066124°
W 13.636780°		 ← 166.05 m →
27 569 m²		 N 57.066124°
W 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462123870849609 y=0.306018829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462123870849609 × 217)
    floor (0.462123870849609 × 131072)
    floor (60571.5)     		tx = 60571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306018829345703 × 217)
    floor (0.306018829345703 × 131072)
    floor (40110.5)     		ty = 40110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60571 / 40110 ti = "17/60571/40110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60571/40110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60571 ÷ 217
    60571 ÷ 131072     		x = 0.462120056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40110 ÷ 217
    40110 ÷ 131072     		y = 0.306015014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462120056152344 × 2 - 1) × π
    -0.0757598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23800671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306015014648438 × 2 - 1) × π
    0.387969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21884360973955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23800671} λ = -0.23800671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21884360973955))-π/2
    2×atan(3.38327308658194)-π/2
    2×1.2834070676308-π/2
    2.56681413526161-1.57079632675     		φ = 0.99601781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23800671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.636780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99601781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.067617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60571 KachelY 40110 -0.23800671 0.99601781 -13.636780 57.067617
    Oben rechts KachelX + 1 60572 KachelY 40110 -0.23795877 0.99601781 -13.634033 57.067617
    Unten links KachelX 60571 KachelY + 1 40111 -0.23800671 0.99599175 -13.636780 57.066124
    Unten rechts KachelX + 1 60572 KachelY + 1 40111 -0.23795877 0.99599175 -13.634033 57.066124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99601781-0.99599175) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dl = 166.028260000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99601781-0.99599175) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dr = 166.028260000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23800671--0.23795877) × cos(0.99601781) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543648910345468 × 6371000     		do = 166.044370742542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23800671--0.23795877) × cos(0.99599175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.543670782650662 × 6371000     		du = 166.051051107541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99601781)-sin(0.99599175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543648910345468-0.543670782650662)×R²
    abs(-0.23795877--0.23800671)×2.1872305193904e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1872305193904e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1872305193904e-05×40589641000000     		ar = 27568.6125235285m²