Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60571 / 32942
↖ ↑ ↗
← N 66.322068°
W 13.636780°		 ← 122.66 m → N 66.322068°
W 13.634033°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 66.320964°
W 13.636780°		 ← 122.66 m →
15 051 m²		 N 66.320964°
W 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462123870849609 y=0.251331329345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462123870849609 × 217)
    floor (0.462123870849609 × 131072)
    floor (60571.5)     		tx = 60571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251331329345703 × 217)
    floor (0.251331329345703 × 131072)
    floor (32942.5)     		ty = 32942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60571 / 32942 ti = "17/60571/32942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60571/32942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60571 ÷ 217
    60571 ÷ 131072     		x = 0.462120056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32942 ÷ 217
    32942 ÷ 131072     		y = 0.251327514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462120056152344 × 2 - 1) × π
    -0.0757598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23800671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251327514648438 × 2 - 1) × π
    0.497344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56245530621611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23800671} λ = -0.23800671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56245530621611))-π/2
    2×atan(4.77051996461455)-π/2
    2×1.3641673863121-π/2
    2.7283347726242-1.57079632675     		φ = 1.15753845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23800671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.636780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15753845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.322068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60571 KachelY 32942 -0.23800671 1.15753845 -13.636780 66.322068
    Oben rechts KachelX + 1 60572 KachelY 32942 -0.23795877 1.15753845 -13.634033 66.322068
    Unten links KachelX 60571 KachelY + 1 32943 -0.23800671 1.15751919 -13.636780 66.320964
    Unten rechts KachelX + 1 60572 KachelY + 1 32943 -0.23795877 1.15751919 -13.634033 66.320964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15753845-1.15751919) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dl = 122.705460001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15753845-1.15751919) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dr = 122.705460001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23800671--0.23795877) × cos(1.15753845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.401595073975538 × 6371000     		do = 122.657472649395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23800671--0.23795877) × cos(1.15751919) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.401612712542982 × 6371000     		du = 122.662859921909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15753845)-sin(1.15751919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401595073975538-0.401612712542982)×R²
    abs(-0.23795877--0.23800671)×1.76385674433566e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76385674433566e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76385674433566e-05×40589641000000     		ar = 15051.0721283733m²