Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60570 / 55956
↖ ↑ ↗
← N 25.433354°
W 13.639526°		 ← 275.77 m → N 25.433354°
W 13.636780°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.430873°
W 13.639526°		 ← 275.77 m →
76 058 m²		 N 25.430873°
W 13.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462116241455078 y=0.426914215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462116241455078 × 217)
    floor (0.462116241455078 × 131072)
    floor (60570.5)     		tx = 60570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426914215087891 × 217)
    floor (0.426914215087891 × 131072)
    floor (55956.5)     		ty = 55956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60570 / 55956 ti = "17/60570/55956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60570/55956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60570 ÷ 217
    60570 ÷ 131072     		x = 0.462112426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55956 ÷ 217
    55956 ÷ 131072     		y = 0.426910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462112426757812 × 2 - 1) × π
    -0.075775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23805464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426910400390625 × 2 - 1) × π
    0.14617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.459235498360138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23805464} λ = -0.23805464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459235498360138))-π/2
    2×atan(1.58286342063347)-π/2
    2×1.00734604196105-π/2
    2.0146920839221-1.57079632675     		φ = 0.44389576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23805464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44389576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.433354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60570 KachelY 55956 -0.23805464 0.44389576 -13.639526 25.433354
    Oben rechts KachelX + 1 60571 KachelY 55956 -0.23800671 0.44389576 -13.636780 25.433354
    Unten links KachelX 60570 KachelY + 1 55957 -0.23805464 0.44385247 -13.639526 25.430873
    Unten rechts KachelX + 1 60571 KachelY + 1 55957 -0.23800671 0.44385247 -13.636780 25.430873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44389576-0.44385247) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dl = 275.800589999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44389576-0.44385247) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dr = 275.800589999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23805464--0.23800671) × cos(0.44389576) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903085443811991 × 6371000     		do = 275.76800438589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23805464--0.23800671) × cos(0.44385247) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903104034328978 × 6371000     		du = 275.773681223896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44389576)-sin(0.44385247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903085443811991-0.903104034328978)×R²
    abs(-0.23800671--0.23805464)×1.85905169871603e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85905169871603e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85905169871603e-05×40589641000000     		ar = 76057.7611621789m²