Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60570 / 34331
↖ ↑ ↗
← N 64.742502°
W 13.639526°		 ← 130.29 m → N 64.742502°
W 13.636780°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
N 64.741330°
W 13.639526°		 ← 130.30 m →
16 976 m²		 N 64.741330°
W 13.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462116241455078 y=0.261928558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462116241455078 × 217)
    floor (0.462116241455078 × 131072)
    floor (60570.5)     		tx = 60570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261928558349609 × 217)
    floor (0.261928558349609 × 131072)
    floor (34331.5)     		ty = 34331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60570 / 34331 ti = "17/60570/34331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60570/34331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60570 ÷ 217
    60570 ÷ 131072     		x = 0.462112426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34331 ÷ 217
    34331 ÷ 131072     		y = 0.261924743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462112426757812 × 2 - 1) × π
    -0.075775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23805464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261924743652344 × 2 - 1) × π
    0.476150512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.49587095264385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23805464} λ = -0.23805464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49587095264385))-π/2
    2×atan(4.46322211563333)-π/2
    2×1.35038307359078-π/2
    2.70076614718156-1.57079632675     		φ = 1.12996982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23805464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12996982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.742502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60570 KachelY 34331 -0.23805464 1.12996982 -13.639526 64.742502
    Oben rechts KachelX + 1 60571 KachelY 34331 -0.23800671 1.12996982 -13.636780 64.742502
    Unten links KachelX 60570 KachelY + 1 34332 -0.23805464 1.12994937 -13.639526 64.741330
    Unten rechts KachelX + 1 60571 KachelY + 1 34332 -0.23800671 1.12994937 -13.636780 64.741330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12996982-1.12994937) × R
    2.04499999998387e-05 × 6371000     		dl = 130.286949998972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12996982-1.12994937) × R
    2.04499999998387e-05 × 6371000     		dr = 130.286949998972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23805464--0.23800671) × cos(1.12996982) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426687102895721 × 6371000     		do = 130.294039915061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23805464--0.23800671) × cos(1.12994937) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426705597772437 × 6371000     		du = 130.299687548159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12996982)-sin(1.12994937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426687102895721-0.426705597772437)×R²
    abs(-0.23800671--0.23805464)×1.84948767157911e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84948767157911e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84948767157911e-05×40589641000000     		ar = 16975.9809706917m²