Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60568 / 41256
↖ ↑ ↗
← N 55.316643°
W 13.645020°		 ← 173.80 m → N 55.316643°
W 13.642273°		 →
↑
173.80 m
↓
↑
173.80 m
↓
N 55.315080°
W 13.645020°		 ← 173.81 m →
30 207 m²		 N 55.315080°
W 13.642273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462100982666016 y=0.314762115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462100982666016 × 217)
    floor (0.462100982666016 × 131072)
    floor (60568.5)     		tx = 60568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314762115478516 × 217)
    floor (0.314762115478516 × 131072)
    floor (41256.5)     		ty = 41256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60568 / 41256 ti = "17/60568/41256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60568/41256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60568 ÷ 217
    60568 ÷ 131072     		x = 0.46209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41256 ÷ 217
    41256 ÷ 131072     		y = 0.31475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31475830078125 × 2 - 1) × π
    0.3704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16390792277496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23815052} λ = -0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16390792277496))-π/2
    2×atan(3.20242367888529)-π/2
    2×1.26812693952538-π/2
    2.53625387905077-1.57079632675     		φ = 0.96545755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96545755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.316643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60568 KachelY 41256 -0.23815052 0.96545755 -13.645020 55.316643
    Oben rechts KachelX + 1 60569 KachelY 41256 -0.23810258 0.96545755 -13.642273 55.316643
    Unten links KachelX 60568 KachelY + 1 41257 -0.23815052 0.96543027 -13.645020 55.315080
    Unten rechts KachelX + 1 60569 KachelY + 1 41257 -0.23810258 0.96543027 -13.642273 55.315080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96545755-0.96543027) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dl = 173.800879999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96545755-0.96543027) × R
    2.72799999999629e-05 × 6371000     		dr = 173.800879999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23815052--0.23810258) × cos(0.96545755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569040688239671 × 6371000     		do = 173.799673295697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23815052--0.23810258) × cos(0.96543027) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.569063120627461 × 6371000     		du = 173.806524724338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96545755)-sin(0.96543027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569040688239671-0.569063120627461)×R²
    abs(-0.23810258--0.23815052)×2.24323877905386e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24323877905386e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24323877905386e-05×40589641000000     		ar = 30207.1315563563m²