Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60567 / 40113
↖ ↑ ↗
← N 57.063137°
W 13.647766°		 ← 166.03 m → N 57.063137°
W 13.645020°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.061644°
W 13.647766°		 ← 166.04 m →
27 566 m²		 N 57.061644°
W 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462093353271484 y=0.306041717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462093353271484 × 217)
    floor (0.462093353271484 × 131072)
    floor (60567.5)     		tx = 60567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306041717529297 × 217)
    floor (0.306041717529297 × 131072)
    floor (40113.5)     		ty = 40113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60567 / 40113 ti = "17/60567/40113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60567/40113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60567 ÷ 217
    60567 ÷ 131072     		x = 0.462089538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40113 ÷ 217
    40113 ÷ 131072     		y = 0.306037902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462089538574219 × 2 - 1) × π
    -0.0758209228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23819845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306037902832031 × 2 - 1) × π
    0.387924194335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.21869979904069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23819845} λ = -0.23819845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21869979904069))-π/2
    2×atan(3.38278657069886)-π/2
    2×1.28336797400659-π/2
    2.56673594801318-1.57079632675     		φ = 0.99593962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23819845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.647766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99593962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.063137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60567 KachelY 40113 -0.23819845 0.99593962 -13.647766 57.063137
    Oben rechts KachelX + 1 60568 KachelY 40113 -0.23815052 0.99593962 -13.645020 57.063137
    Unten links KachelX 60567 KachelY + 1 40114 -0.23819845 0.99591356 -13.647766 57.061644
    Unten rechts KachelX + 1 60568 KachelY + 1 40114 -0.23815052 0.99591356 -13.645020 57.061644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99593962-0.99591356) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dl = 166.028260000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99593962-0.99591356) × R
    2.60600000000499e-05 × 6371000     		dr = 166.028260000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23819845--0.23815052) × cos(0.99593962) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543714534546078 × 6371000     		do = 166.029774009501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23819845--0.23815052) × cos(0.99591356) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543736405743427 × 6371000     		du = 166.036452642722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99593962)-sin(0.99591356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543714534546078-0.543736405743427)×R²
    abs(-0.23815052--0.23819845)×2.18711973486441e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18711973486441e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18711973486441e-05×40589641000000     		ar = 27566.1889095959m²