Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60567 / 34329
↖ ↑ ↗
← N 64.744846°
W 13.647766°		 ← 130.28 m → N 64.744846°
W 13.645020°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
N 64.743673°
W 13.647766°		 ← 130.29 m →
16 983 m²		 N 64.743673°
W 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462093353271484 y=0.261913299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462093353271484 × 217)
    floor (0.462093353271484 × 131072)
    floor (60567.5)     		tx = 60567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261913299560547 × 217)
    floor (0.261913299560547 × 131072)
    floor (34329.5)     		ty = 34329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60567 / 34329 ti = "17/60567/34329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60567/34329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60567 ÷ 217
    60567 ÷ 131072     		x = 0.462089538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34329 ÷ 217
    34329 ÷ 131072     		y = 0.261909484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462089538574219 × 2 - 1) × π
    -0.0758209228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23819845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261909484863281 × 2 - 1) × π
    0.476181030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.49596682644309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23819845} λ = -0.23819845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49596682644309))-π/2
    2×atan(4.46365004220755)-π/2
    2×1.35040352676084-π/2
    2.70080705352167-1.57079632675     		φ = 1.13001073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23819845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.647766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13001073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.744846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60567 KachelY 34329 -0.23819845 1.13001073 -13.647766 64.744846
    Oben rechts KachelX + 1 60568 KachelY 34329 -0.23815052 1.13001073 -13.645020 64.744846
    Unten links KachelX 60567 KachelY + 1 34330 -0.23819845 1.12999027 -13.647766 64.743673
    Unten rechts KachelX + 1 60568 KachelY + 1 34330 -0.23815052 1.12999027 -13.645020 64.743673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13001073-1.12999027) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13001073-1.12999027) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23819845--0.23815052) × cos(1.13001073) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426650103562804 × 6371000     		do = 130.282741723652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23819845--0.23815052) × cos(1.12999027) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426668607840563 × 6371000     		du = 130.288392227473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13001073)-sin(1.12999027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426650103562804-0.426668607840563)×R²
    abs(-0.23815052--0.23819845)×1.85042777591238e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85042777591238e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85042777591238e-05×40589641000000     		ar = 16982.8096443406m²