Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60565 / 84273
↖ ↑ ↗
← S 45.677402°
W 13.653259°		 ← 213.40 m → S 45.677402°
W 13.650513°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 45.679320°
W 13.653259°		 ← 213.39 m →
45 531 m²		 S 45.679320°
W 13.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462078094482422 y=0.642955780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462078094482422 × 217)
    floor (0.462078094482422 × 131072)
    floor (60565.5)     		tx = 60565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642955780029297 × 217)
    floor (0.642955780029297 × 131072)
    floor (84273.5)     		ty = 84273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60565 / 84273 ti = "17/60565/84273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60565/84273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60565 ÷ 217
    60565 ÷ 131072     		x = 0.462074279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84273 ÷ 217
    84273 ÷ 131072     		y = 0.642951965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462074279785156 × 2 - 1) × π
    -0.0758514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23829433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642951965332031 × 2 - 1) × π
    -0.285903930664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.898193688180992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23829433} λ = -0.23829433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898193688180992))-π/2
    2×atan(0.407304714991873)-π/2
    2×0.386787640722736-π/2
    0.773575281445472-1.57079632675     		φ = -0.79722105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23829433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.653259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79722105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.677402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60565 KachelY 84273 -0.23829433 -0.79722105 -13.653259 -45.677402
    Oben rechts KachelX + 1 60566 KachelY 84273 -0.23824639 -0.79722105 -13.650513 -45.677402
    Unten links KachelX 60565 KachelY + 1 84274 -0.23829433 -0.79725454 -13.653259 -45.679320
    Unten rechts KachelX + 1 60566 KachelY + 1 84274 -0.23824639 -0.79725454 -13.650513 -45.679320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79722105--0.79725454) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79722105--0.79725454) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23829433--0.23824639) × cos(-0.79722105) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698697513311122 × 6371000     		do = 213.400205039193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23829433--0.23824639) × cos(-0.79725454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698673553596929 × 6371000     		du = 213.392887125755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79722105)-sin(-0.79725454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698697513311122-0.698673553596929)×R²
    abs(-0.23824639--0.23829433)×2.39597141933334e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39597141933334e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39597141933334e-05×40589641000000     		ar = 45531.309245633m²