Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60565 / 40115
↖ ↑ ↗
← N 57.060150°
W 13.653259°		 ← 166.08 m → N 57.060150°
W 13.650513°		 →
↑
166.09 m
↓
↑
166.09 m
↓
N 57.058656°
W 13.653259°		 ← 166.08 m →
27 585 m²		 N 57.058656°
W 13.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462078094482422 y=0.306056976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462078094482422 × 217)
    floor (0.462078094482422 × 131072)
    floor (60565.5)     		tx = 60565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306056976318359 × 217)
    floor (0.306056976318359 × 131072)
    floor (40115.5)     		ty = 40115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60565 / 40115 ti = "17/60565/40115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60565/40115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60565 ÷ 217
    60565 ÷ 131072     		x = 0.462074279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40115 ÷ 217
    40115 ÷ 131072     		y = 0.306053161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462074279785156 × 2 - 1) × π
    -0.0758514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23829433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306053161621094 × 2 - 1) × π
    0.387893676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21860392524145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23829433} λ = -0.23829433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21860392524145))-π/2
    2×atan(3.38246226564473)-π/2
    2×1.28334190896895-π/2
    2.56668381793791-1.57079632675     		φ = 0.99588749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23829433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.653259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99588749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.060150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60565 KachelY 40115 -0.23829433 0.99588749 -13.653259 57.060150
    Oben rechts KachelX + 1 60566 KachelY 40115 -0.23824639 0.99588749 -13.650513 57.060150
    Unten links KachelX 60565 KachelY + 1 40116 -0.23829433 0.99586142 -13.653259 57.058656
    Unten rechts KachelX + 1 60566 KachelY + 1 40116 -0.23824639 0.99586142 -13.650513 57.058656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99588749-0.99586142) × R
    2.60699999999892e-05 × 6371000     		dl = 166.091969999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99588749-0.99586142) × R
    2.60699999999892e-05 × 6371000     		dr = 166.091969999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23829433--0.23824639) × cos(0.99588749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54375828496393 × 6371000     		do = 166.077776566226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23829433--0.23824639) × cos(0.99586142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54378016381487 × 6371000     		du = 166.084458930465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99588749)-sin(0.99586142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54375828496393-0.54378016381487)×R²
    abs(-0.23824639--0.23829433)×2.18788509407375e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18788509407375e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18788509407375e-05×40589641000000     		ar = 27584.7400281066m²