Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60562 / 40754
↖ ↑ ↗
← N 56.093492°
W 13.661499°		 ← 170.38 m → N 56.093492°
W 13.658752°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
N 56.091960°
W 13.661499°		 ← 170.39 m →
29 026 m²		 N 56.091960°
W 13.658752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462055206298828 y=0.310932159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462055206298828 × 217)
    floor (0.462055206298828 × 131072)
    floor (60562.5)     		tx = 60562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310932159423828 × 217)
    floor (0.310932159423828 × 131072)
    floor (40754.5)     		ty = 40754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60562 / 40754 ti = "17/60562/40754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60562/40754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60562 ÷ 217
    60562 ÷ 131072     		x = 0.462051391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40754 ÷ 217
    40754 ÷ 131072     		y = 0.310928344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462051391601562 × 2 - 1) × π
    -0.075897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23843814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310928344726562 × 2 - 1) × π
    0.378143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18797224638423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23843814} λ = -0.23843814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18797224638423))-π/2
    2×atan(3.28042256989921)-π/2
    2×1.27490622179903-π/2
    2.54981244359807-1.57079632675     		φ = 0.97901612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23843814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.661499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97901612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.093492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60562 KachelY 40754 -0.23843814 0.97901612 -13.661499 56.093492
    Oben rechts KachelX + 1 60563 KachelY 40754 -0.23839020 0.97901612 -13.658752 56.093492
    Unten links KachelX 60562 KachelY + 1 40755 -0.23843814 0.97898938 -13.661499 56.091960
    Unten rechts KachelX + 1 60563 KachelY + 1 40755 -0.23839020 0.97898938 -13.658752 56.091960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97901612-0.97898938) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dl = 170.36054000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97901612-0.97898938) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dr = 170.36054000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23843814--0.23839020) × cos(0.97901612) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557839386782847 × 6371000     		do = 170.378507509284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23843814--0.23839020) × cos(0.97898938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55786157941767 × 6371000     		du = 170.385285711198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97901612)-sin(0.97898938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557839386782847-0.55786157941767)×R²
    abs(-0.23839020--0.23843814)×2.21926348237256e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21926348237256e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21926348237256e-05×40589641000000     		ar = 29026.3519145275m²