Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60562 / 40749
↖ ↑ ↗
← N 56.101152°
W 13.661499°		 ← 170.34 m → N 56.101152°
W 13.658752°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
N 56.099620°
W 13.661499°		 ← 170.35 m →
29 021 m²		 N 56.099620°
W 13.658752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462055206298828 y=0.310894012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462055206298828 × 217)
    floor (0.462055206298828 × 131072)
    floor (60562.5)     		tx = 60562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310894012451172 × 217)
    floor (0.310894012451172 × 131072)
    floor (40749.5)     		ty = 40749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60562 / 40749 ti = "17/60562/40749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60562/40749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60562 ÷ 217
    60562 ÷ 131072     		x = 0.462051391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40749 ÷ 217
    40749 ÷ 131072     		y = 0.310890197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462051391601562 × 2 - 1) × π
    -0.075897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23843814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310890197753906 × 2 - 1) × π
    0.378219604492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18821193088233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23843814} λ = -0.23843814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18821193088233))-π/2
    2×atan(3.2812089305719)-π/2
    2×1.27497306787694-π/2
    2.54994613575389-1.57079632675     		φ = 0.97914981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23843814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.661499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97914981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.101152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60562 KachelY 40749 -0.23843814 0.97914981 -13.661499 56.101152
    Oben rechts KachelX + 1 60563 KachelY 40749 -0.23839020 0.97914981 -13.658752 56.101152
    Unten links KachelX 60562 KachelY + 1 40750 -0.23843814 0.97912307 -13.661499 56.099620
    Unten rechts KachelX + 1 60563 KachelY + 1 40750 -0.23839020 0.97912307 -13.658752 56.099620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97914981-0.97912307) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dl = 170.36054000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97914981-0.97912307) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dr = 170.36054000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23843814--0.23839020) × cos(0.97914981) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557728425926222 × 6371000     		do = 170.344617207538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23843814--0.23839020) × cos(0.97912307) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		du = 170.351396018485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97914981)-sin(0.97912307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557728425926222-0.557750620555091)×R²
    abs(-0.23839020--0.23843814)×2.21946288687658e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21946288687658e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21946288687658e-05×40589641000000     		ar = 29020.5783961867m²