Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60561 / 84278
↖ ↑ ↗
← S 45.686996°
W 13.664246°		 ← 213.36 m → S 45.686996°
W 13.661499°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 45.688914°
W 13.664246°		 ← 213.36 m →
45 510 m²		 S 45.688914°
W 13.661499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462047576904297 y=0.642993927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462047576904297 × 217)
    floor (0.462047576904297 × 131072)
    floor (60561.5)     		tx = 60561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642993927001953 × 217)
    floor (0.642993927001953 × 131072)
    floor (84278.5)     		ty = 84278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60561 / 84278 ti = "17/60561/84278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60561/84278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60561 ÷ 217
    60561 ÷ 131072     		x = 0.462043762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84278 ÷ 217
    84278 ÷ 131072     		y = 0.642990112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462043762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0759124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23848608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642990112304688 × 2 - 1) × π
    -0.285980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.898433372679092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23848608} λ = -0.23848608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898433372679092))-π/2
    2×atan(0.407207102064307)-π/2
    2×0.386703914419992-π/2
    0.773407828839984-1.57079632675     		φ = -0.79738850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23848608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.664246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79738850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.686996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60561 KachelY 84278 -0.23848608 -0.79738850 -13.664246 -45.686996
    Oben rechts KachelX + 1 60562 KachelY 84278 -0.23843814 -0.79738850 -13.661499 -45.686996
    Unten links KachelX 60561 KachelY + 1 84279 -0.23848608 -0.79742198 -13.664246 -45.688914
    Unten rechts KachelX + 1 60562 KachelY + 1 84279 -0.23843814 -0.79742198 -13.661499 -45.688914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79738850--0.79742198) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dl = 213.301080000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79738850--0.79742198) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dr = 213.301080000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23848608--0.23843814) × cos(-0.79738850) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.69857770690424 × 6371000     		do = 213.363613078714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23848608--0.23843814) × cos(-0.79742198) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.6985537504278 × 6371000     		du = 213.35629615417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79738850)-sin(-0.79742198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69857770690424-0.6985537504278)×R²
    abs(-0.23843814--0.23848608)×2.39564764404898e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39564764404898e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39564764404898e-05×40589641000000     		ar = 45509.9087527952m²