Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60561 / 84113
↖ ↑ ↗
← S 45.369514°
W 13.664246°		 ← 214.57 m → S 45.369514°
W 13.661499°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.371444°
W 13.664246°		 ← 214.56 m →
46 041 m²		 S 45.371444°
W 13.661499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462047576904297 y=0.641735076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462047576904297 × 217)
    floor (0.462047576904297 × 131072)
    floor (60561.5)     		tx = 60561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641735076904297 × 217)
    floor (0.641735076904297 × 131072)
    floor (84113.5)     		ty = 84113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60561 / 84113 ti = "17/60561/84113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60561/84113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60561 ÷ 217
    60561 ÷ 131072     		x = 0.462043762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84113 ÷ 217
    84113 ÷ 131072     		y = 0.641731262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462043762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0759124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23848608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641731262207031 × 2 - 1) × π
    -0.283462524414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.890523784241783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23848608} λ = -0.23848608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890523784241783))-π/2
    2×atan(0.410440714062111)-π/2
    2×0.389474464064379-π/2
    0.778948928128758-1.57079632675     		φ = -0.79184740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23848608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.664246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79184740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.369514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60561 KachelY 84113 -0.23848608 -0.79184740 -13.664246 -45.369514
    Oben rechts KachelX + 1 60562 KachelY 84113 -0.23843814 -0.79184740 -13.661499 -45.369514
    Unten links KachelX 60561 KachelY + 1 84114 -0.23848608 -0.79188108 -13.664246 -45.371444
    Unten rechts KachelX + 1 60562 KachelY + 1 84114 -0.23843814 -0.79188108 -13.661499 -45.371444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79184740--0.79188108) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79184740--0.79188108) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23848608--0.23843814) × cos(-0.79184740) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702531808691393 × 6371000     		do = 214.571297543091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23848608--0.23843814) × cos(-0.79188108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702507839842018 × 6371000     		du = 214.563976839533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79184740)-sin(-0.79188108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702531808691393-0.702507839842018)×R²
    abs(-0.23843814--0.23848608)×2.39688493749446e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39688493749446e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39688493749446e-05×40589641000000     		ar = 46040.9108336811m²