Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60560 / 82896
↖ ↑ ↗
← S 42.972502°
W 13.666992°		 ← 223.43 m → S 42.972502°
W 13.664246°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
S 42.974511°
W 13.666992°		 ← 223.42 m →
49 920 m²		 S 42.974511°
W 13.664246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462039947509766 y=0.632450103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462039947509766 × 217)
    floor (0.462039947509766 × 131072)
    floor (60560.5)     		tx = 60560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632450103759766 × 217)
    floor (0.632450103759766 × 131072)
    floor (82896.5)     		ty = 82896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60560 / 82896 ti = "17/60560/82896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60560/82896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60560 ÷ 217
    60560 ÷ 131072     		x = 0.4620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82896 ÷ 217
    82896 ÷ 131072     		y = 0.6324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23853401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.832184577404175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23853401} λ = -0.23853401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832184577404175))-π/2
    2×atan(0.435097742642369)-π/2
    2×0.410392343158831-π/2
    0.820784686317662-1.57079632675     		φ = -0.75001164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23853401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75001164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.972502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60560 KachelY 82896 -0.23853401 -0.75001164 -13.666992 -42.972502
    Oben rechts KachelX + 1 60561 KachelY 82896 -0.23848608 -0.75001164 -13.664246 -42.972502
    Unten links KachelX 60560 KachelY + 1 82897 -0.23853401 -0.75004671 -13.666992 -42.974511
    Unten rechts KachelX + 1 60561 KachelY + 1 82897 -0.23848608 -0.75004671 -13.664246 -42.974511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75001164--0.75004671) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75001164--0.75004671) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23853401--0.23848608) × cos(-0.75001164) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731680934549086 × 6371000     		do = 223.427575486214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23853401--0.23848608) × cos(-0.75004671) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.731657028729144 × 6371000     		du = 223.420275556507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75001164)-sin(-0.75004671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731680934549086-0.731657028729144)×R²
    abs(-0.23848608--0.23853401)×2.39058199427156e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39058199427156e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39058199427156e-05×40589641000000     		ar = 49919.824405797m²