Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60560 / 40750
↖ ↑ ↗
← N 56.099620°
W 13.666992°		 ← 170.32 m → N 56.099620°
W 13.664246°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
N 56.098088°
W 13.666992°		 ← 170.32 m →
29 005 m²		 N 56.098088°
W 13.664246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462039947509766 y=0.310901641845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462039947509766 × 217)
    floor (0.462039947509766 × 131072)
    floor (60560.5)     		tx = 60560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310901641845703 × 217)
    floor (0.310901641845703 × 131072)
    floor (40750.5)     		ty = 40750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60560 / 40750 ti = "17/60560/40750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60560/40750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60560 ÷ 217
    60560 ÷ 131072     		x = 0.4620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40750 ÷ 217
    40750 ÷ 131072     		y = 0.310897827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23853401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310897827148438 × 2 - 1) × π
    0.378204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18816399398271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23853401} λ = -0.23853401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18816399398271))-π/2
    2×atan(3.28105164335873)-π/2
    2×1.27495969972519-π/2
    2.54991939945038-1.57079632675     		φ = 0.97912307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23853401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97912307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.099620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60560 KachelY 40750 -0.23853401 0.97912307 -13.666992 56.099620
    Oben rechts KachelX + 1 60561 KachelY 40750 -0.23848608 0.97912307 -13.664246 56.099620
    Unten links KachelX 60560 KachelY + 1 40751 -0.23853401 0.97909634 -13.666992 56.098088
    Unten rechts KachelX + 1 60561 KachelY + 1 40751 -0.23848608 0.97909634 -13.664246 56.098088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97912307-0.97909634) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97912307-0.97909634) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23853401--0.23848608) × cos(0.97912307) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		do = 170.315861726468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23853401--0.23848608) × cos(0.97909634) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557772806485216 × 6371000     		du = 170.322636467128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97912307)-sin(0.97909634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557750620555091-0.557772806485216)×R²
    abs(-0.23848608--0.23853401)×2.21859301249294e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21859301249294e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21859301249294e-05×40589641000000     		ar = 29004.8282109284m²