Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60557 / 82722
↖ ↑ ↗
← S 42.621834°
W 13.675232°		 ← 224.70 m → S 42.621834°
W 13.672486°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 42.623854°
W 13.675232°		 ← 224.69 m →
50 490 m²		 S 42.623854°
W 13.672486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462017059326172 y=0.631122589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462017059326172 × 217)
    floor (0.462017059326172 × 131072)
    floor (60557.5)     		tx = 60557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631122589111328 × 217)
    floor (0.631122589111328 × 131072)
    floor (82722.5)     		ty = 82722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60557 / 82722 ti = "17/60557/82722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60557/82722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60557 ÷ 217
    60557 ÷ 131072     		x = 0.462013244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82722 ÷ 217
    82722 ÷ 131072     		y = 0.631118774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462013244628906 × 2 - 1) × π
    -0.0759735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23867782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631118774414062 × 2 - 1) × π
    -0.262237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823843556870285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23867782} λ = -0.23867782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823843556870285))-π/2
    2×atan(0.438742079463311)-π/2
    2×0.41345249820066-π/2
    0.826904996401319-1.57079632675     		φ = -0.74389133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23867782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.675232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74389133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.621834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60557 KachelY 82722 -0.23867782 -0.74389133 -13.675232 -42.621834
    Oben rechts KachelX + 1 60558 KachelY 82722 -0.23862989 -0.74389133 -13.672486 -42.621834
    Unten links KachelX 60557 KachelY + 1 82723 -0.23867782 -0.74392660 -13.675232 -42.623854
    Unten rechts KachelX + 1 60558 KachelY + 1 82723 -0.23862989 -0.74392660 -13.672486 -42.623854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74389133--0.74392660) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dl = 224.705170000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74389133--0.74392660) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dr = 224.705170000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23867782--0.23862989) × cos(-0.74389133) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.735839097468162 × 6371000     		do = 224.697320556253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23867782--0.23862989) × cos(-0.74392660) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.735815213703409 × 6371000     		du = 224.690027361364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74389133)-sin(-0.74392660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735839097468162-0.735815213703409)×R²
    abs(-0.23862989--0.23867782)×2.38837647533741e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38837647533741e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38837647533741e-05×40589641000000     		ar = 50489.8302101591m²