Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60557 / 40603
↖ ↑ ↗
← N 56.324153°
W 13.675232°		 ← 169.32 m → N 56.324153°
W 13.672486°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
N 56.322629°
W 13.675232°		 ← 169.33 m →
28 684 m²		 N 56.322629°
W 13.672486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462017059326172 y=0.309780120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462017059326172 × 217)
    floor (0.462017059326172 × 131072)
    floor (60557.5)     		tx = 60557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309780120849609 × 217)
    floor (0.309780120849609 × 131072)
    floor (40603.5)     		ty = 40603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60557 / 40603 ti = "17/60557/40603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60557/40603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60557 ÷ 217
    60557 ÷ 131072     		x = 0.462013244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40603 ÷ 217
    40603 ÷ 131072     		y = 0.309776306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462013244628906 × 2 - 1) × π
    -0.0759735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23867782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309776306152344 × 2 - 1) × π
    0.380447387695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19521071822686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23867782} λ = -0.23867782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19521071822686))-π/2
    2×atan(3.30425396368512)-π/2
    2×1.27691911634566-π/2
    2.55383823269133-1.57079632675     		φ = 0.98304191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23867782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.675232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98304191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.324153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60557 KachelY 40603 -0.23867782 0.98304191 -13.675232 56.324153
    Oben rechts KachelX + 1 60558 KachelY 40603 -0.23862989 0.98304191 -13.672486 56.324153
    Unten links KachelX 60557 KachelY + 1 40604 -0.23867782 0.98301532 -13.675232 56.322629
    Unten rechts KachelX + 1 60558 KachelY + 1 40604 -0.23862989 0.98301532 -13.672486 56.322629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98304191-0.98301532) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dl = 169.404889999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98304191-0.98301532) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dr = 169.404889999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23867782--0.23862989) × cos(0.98304191) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554493675282898 × 6371000     		do = 169.321314306552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23867782--0.23862989) × cos(0.98301532) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554515802964144 × 6371000     		du = 169.328071260217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98304191)-sin(0.98301532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554493675282898-0.554515802964144)×R²
    abs(-0.23862989--0.23867782)×2.2127681246209e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2127681246209e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2127681246209e-05×40589641000000     		ar = 28684.4309568433m²