Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60556 / 84276
↖ ↑ ↗
← S 45.683158°
W 13.677979°		 ← 213.38 m → S 45.683158°
W 13.675232°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 45.685077°
W 13.677979°		 ← 213.37 m →
45 527 m²		 S 45.685077°
W 13.675232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462009429931641 y=0.642978668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462009429931641 × 217)
    floor (0.462009429931641 × 131072)
    floor (60556.5)     		tx = 60556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642978668212891 × 217)
    floor (0.642978668212891 × 131072)
    floor (84276.5)     		ty = 84276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60556 / 84276 ti = "17/60556/84276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60556/84276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60556 ÷ 217
    60556 ÷ 131072     		x = 0.462005615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84276 ÷ 217
    84276 ÷ 131072     		y = 0.642974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.07598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23872576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.28594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898337498879852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23872576} λ = -0.23872576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898337498879852))-π/2
    2×atan(0.407246144427799)-π/2
    2×0.386737403218119-π/2
    0.773474806436238-1.57079632675     		φ = -0.79732152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23872576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.677979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79732152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.683158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60556 KachelY 84276 -0.23872576 -0.79732152 -13.677979 -45.683158
    Oben rechts KachelX + 1 60557 KachelY 84276 -0.23867782 -0.79732152 -13.675232 -45.683158
    Unten links KachelX 60556 KachelY + 1 84277 -0.23872576 -0.79735501 -13.677979 -45.685077
    Unten rechts KachelX + 1 60557 KachelY + 1 84277 -0.23867782 -0.79735501 -13.675232 -45.685077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79732152--0.79735501) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79732152--0.79735501) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23872576--0.23867782) × cos(-0.79732152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698625631817714 × 6371000     		do = 213.378250580876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23872576--0.23867782) × cos(-0.79735501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698601669752746 × 6371000     		du = 213.370931949452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79732152)-sin(-0.79735501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698625631817714-0.698601669752746)×R²
    abs(-0.23867782--0.23872576)×2.39620649677974e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39620649677974e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39620649677974e-05×40589641000000     		ar = 45526.6248609359m²