Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60556 / 84274
↖ ↑ ↗
← S 45.679320°
W 13.677979°		 ← 213.39 m → S 45.679320°
W 13.675232°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 45.681239°
W 13.677979°		 ← 213.39 m →
45 530 m²		 S 45.681239°
W 13.675232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462009429931641 y=0.642963409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462009429931641 × 217)
    floor (0.462009429931641 × 131072)
    floor (60556.5)     		tx = 60556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642963409423828 × 217)
    floor (0.642963409423828 × 131072)
    floor (84274.5)     		ty = 84274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60556 / 84274 ti = "17/60556/84274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60556/84274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60556 ÷ 217
    60556 ÷ 131072     		x = 0.462005615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84274 ÷ 217
    84274 ÷ 131072     		y = 0.642959594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.07598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23872576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642959594726562 × 2 - 1) × π
    -0.285919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898241625080612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23872576} λ = -0.23872576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898241625080612))-π/2
    2×atan(0.407285190534611)-π/2
    2×0.386770894313539-π/2
    0.773541788627077-1.57079632675     		φ = -0.79725454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23872576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.677979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79725454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.679320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60556 KachelY 84274 -0.23872576 -0.79725454 -13.677979 -45.679320
    Oben rechts KachelX + 1 60557 KachelY 84274 -0.23867782 -0.79725454 -13.675232 -45.679320
    Unten links KachelX 60556 KachelY + 1 84275 -0.23872576 -0.79728803 -13.677979 -45.681239
    Unten rechts KachelX + 1 60557 KachelY + 1 84275 -0.23867782 -0.79728803 -13.675232 -45.681239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79725454--0.79728803) × R
    3.34900000000804e-05 × 6371000     		dl = 213.364790000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79725454--0.79728803) × R
    3.34900000000804e-05 × 6371000     		dr = 213.364790000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23872576--0.23867782) × cos(-0.79725454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698673553596929 × 6371000     		do = 213.392887125755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23872576--0.23867782) × cos(-0.79728803) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698649593099117 × 6371000     		du = 213.38556897298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79725454)-sin(-0.79728803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698673553596929-0.698649593099117)×R²
    abs(-0.23867782--0.23872576)×2.39604978118368e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39604978118368e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39604978118368e-05×40589641000000     		ar = 45529.7478355556m²