Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60556 / 40765
↖ ↑ ↗
← N 56.076634°
W 13.677979°		 ← 170.45 m → N 56.076634°
W 13.675232°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 56.075102°
W 13.677979°		 ← 170.46 m →
29 050 m²		 N 56.075102°
W 13.675232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462009429931641 y=0.311016082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462009429931641 × 217)
    floor (0.462009429931641 × 131072)
    floor (60556.5)     		tx = 60556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311016082763672 × 217)
    floor (0.311016082763672 × 131072)
    floor (40765.5)     		ty = 40765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60556 / 40765 ti = "17/60556/40765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60556/40765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60556 ÷ 217
    60556 ÷ 131072     		x = 0.462005615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40765 ÷ 217
    40765 ÷ 131072     		y = 0.311012268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.07598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23872576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311012268066406 × 2 - 1) × π
    0.377975463867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18744494048841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23872576} λ = -0.23872576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18744494048841))-π/2
    2×atan(3.27869323972039)-π/2
    2×1.27475911361403-π/2
    2.54951822722806-1.57079632675     		φ = 0.97872190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23872576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.677979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97872190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.076634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60556 KachelY 40765 -0.23872576 0.97872190 -13.677979 56.076634
    Oben rechts KachelX + 1 60557 KachelY 40765 -0.23867782 0.97872190 -13.675232 56.076634
    Unten links KachelX 60556 KachelY + 1 40766 -0.23872576 0.97869515 -13.677979 56.075102
    Unten rechts KachelX + 1 60557 KachelY + 1 40766 -0.23867782 0.97869515 -13.675232 56.075102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97872190-0.97869515) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dl = 170.42425000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97872190-0.97869515) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dr = 170.42425000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23872576--0.23867782) × cos(0.97872190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558083550207319 × 6371000     		do = 170.453081303884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23872576--0.23867782) × cos(0.97869515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558105746750024 × 6371000     		du = 170.459860699366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97872190)-sin(0.97869515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558083550207319-0.558105746750024)×R²
    abs(-0.23867782--0.23872576)×2.21965427049664e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21965427049664e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21965427049664e-05×40589641000000     		ar = 29049.916229926m²