Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60554 / 32990
↖ ↑ ↗
← N 66.269067°
W 13.683471°		 ← 122.89 m → N 66.269067°
W 13.680725°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
N 66.267962°
W 13.683471°		 ← 122.90 m →
15 103 m²		 N 66.267962°
W 13.680725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461994171142578 y=0.251697540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461994171142578 × 217)
    floor (0.461994171142578 × 131072)
    floor (60554.5)     		tx = 60554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251697540283203 × 217)
    floor (0.251697540283203 × 131072)
    floor (32990.5)     		ty = 32990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60554 / 32990 ti = "17/60554/32990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60554/32990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60554 ÷ 217
    60554 ÷ 131072     		x = 0.461990356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32990 ÷ 217
    32990 ÷ 131072     		y = 0.251693725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461990356445312 × 2 - 1) × π
    -0.076019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23882163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251693725585938 × 2 - 1) × π
    0.496612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56015433503435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23882163} λ = -0.23882163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56015433503435))-π/2
    2×atan(4.75955575465699)-π/2
    2×1.3637048698754-π/2
    2.72740973975079-1.57079632675     		φ = 1.15661341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23882163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.683471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15661341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.269067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60554 KachelY 32990 -0.23882163 1.15661341 -13.683471 66.269067
    Oben rechts KachelX + 1 60555 KachelY 32990 -0.23877370 1.15661341 -13.680725 66.269067
    Unten links KachelX 60554 KachelY + 1 32991 -0.23882163 1.15659412 -13.683471 66.267962
    Unten rechts KachelX + 1 60555 KachelY + 1 32991 -0.23877370 1.15659412 -13.680725 66.267962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15661341-1.15659412) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15661341-1.15659412) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23882163--0.23877370) × cos(1.15661341) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402442069702811 × 6371000     		do = 122.890527361856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23882163--0.23877370) × cos(1.15659412) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.402459728570756 × 6371000     		du = 122.895919709619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15661341)-sin(1.15659412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402442069702811-0.402459728570756)×R²
    abs(-0.23877370--0.23882163)×1.76588679449141e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76588679449141e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76588679449141e-05×40589641000000     		ar = 15103.1581070897m²