Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60553 / 33651
↖ ↑ ↗
← N 65.527758°
W 13.686218°		 ← 126.52 m → N 65.527758°
W 13.683471°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 65.526620°
W 13.686218°		 ← 126.53 m →
16 009 m²		 N 65.526620°
W 13.683471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461986541748047 y=0.256740570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461986541748047 × 217)
    floor (0.461986541748047 × 131072)
    floor (60553.5)     		tx = 60553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256740570068359 × 217)
    floor (0.256740570068359 × 131072)
    floor (33651.5)     		ty = 33651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60553 / 33651 ti = "17/60553/33651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60553/33651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60553 ÷ 217
    60553 ÷ 131072     		x = 0.461982727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33651 ÷ 217
    33651 ÷ 131072     		y = 0.256736755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461982727050781 × 2 - 1) × π
    -0.0760345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23886957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256736755371094 × 2 - 1) × π
    0.486526489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.52846804438549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23886957} λ = -0.23886957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52846804438549))-π/2
    2×atan(4.61110739679371)-π/2
    2×1.35723572647124-π/2
    2.71447145294248-1.57079632675     		φ = 1.14367513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23886957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.686218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14367513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60553 KachelY 33651 -0.23886957 1.14367513 -13.686218 65.527758
    Oben rechts KachelX + 1 60554 KachelY 33651 -0.23882163 1.14367513 -13.683471 65.527758
    Unten links KachelX 60553 KachelY + 1 33652 -0.23886957 1.14365527 -13.686218 65.526620
    Unten rechts KachelX + 1 60554 KachelY + 1 33652 -0.23882163 1.14365527 -13.683471 65.526620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14367513-1.14365527) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14367513-1.14365527) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23886957--0.23882163) × cos(1.14367513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414252345121243 × 6371000     		do = 126.523329055381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23886957--0.23882163) × cos(1.14365527) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414270420858267 × 6371000     		du = 126.528849850738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14367513)-sin(1.14365527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414252345121243-0.414270420858267)×R²
    abs(-0.23882163--0.23886957)×1.80757370242257e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80757370242257e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80757370242257e-05×40589641000000     		ar = 16009.1006383472m²