Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60552 / 56200
↖ ↑ ↗
← N 24.826625°
W 13.688965°		 ← 277.20 m → N 24.826625°
W 13.686218°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 24.824132°
W 13.688965°		 ← 277.20 m →
76 841 m²		 N 24.824132°
W 13.686218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461978912353516 y=0.428775787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461978912353516 × 217)
    floor (0.461978912353516 × 131072)
    floor (60552.5)     		tx = 60552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428775787353516 × 217)
    floor (0.428775787353516 × 131072)
    floor (56200.5)     		ty = 56200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60552 / 56200 ti = "17/60552/56200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60552/56200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60552 ÷ 217
    60552 ÷ 131072     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56200 ÷ 217
    56200 ÷ 131072     		y = 0.42877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    0.1424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.447538894852844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447538894852844))-π/2
    2×atan(1.56445715006771)-π/2
    2×1.00205133721655-π/2
    2.00410267443309-1.57079632675     		φ = 0.43330635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43330635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.826625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60552 KachelY 56200 -0.23891751 0.43330635 -13.688965 24.826625
    Oben rechts KachelX + 1 60553 KachelY 56200 -0.23886957 0.43330635 -13.686218 24.826625
    Unten links KachelX 60552 KachelY + 1 56201 -0.23891751 0.43326284 -13.688965 24.824132
    Unten rechts KachelX + 1 60553 KachelY + 1 56201 -0.23886957 0.43326284 -13.686218 24.824132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43330635-0.43326284) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43330635-0.43326284) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23886957) × cos(0.43330635) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.907582463028877 × 6371000     		do = 277.199045381596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23886957) × cos(0.43326284) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.907600730882189 × 6371000     		du = 277.204624854212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43330635)-sin(0.43326284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907582463028877-0.907600730882189)×R²
    abs(-0.23886957--0.23891751)×1.82678533123815e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82678533123815e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82678533123815e-05×40589641000000     		ar = 76840.9613228767m²