Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60552 / 39992
↖ ↑ ↗
← N 57.243393°
W 13.688965°		 ← 165.26 m → N 57.243393°
W 13.686218°		 →
↑
165.20 m
↓
↑
165.20 m
↓
N 57.241908°
W 13.688965°		 ← 165.26 m →
27 301 m²		 N 57.241908°
W 13.686218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461978912353516 y=0.305118560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461978912353516 × 217)
    floor (0.461978912353516 × 131072)
    floor (60552.5)     		tx = 60552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305118560791016 × 217)
    floor (0.305118560791016 × 131072)
    floor (39992.5)     		ty = 39992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60552 / 39992 ti = "17/60552/39992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60552/39992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60552 ÷ 217
    60552 ÷ 131072     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39992 ÷ 217
    39992 ÷ 131072     		y = 0.30511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30511474609375 × 2 - 1) × π
    0.3897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22450016389471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22450016389471))-π/2
    2×atan(3.40246498284525)-π/2
    2×1.28494101080173-π/2
    2.56988202160347-1.57079632675     		φ = 0.99908569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99908569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.243393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60552 KachelY 39992 -0.23891751 0.99908569 -13.688965 57.243393
    Oben rechts KachelX + 1 60553 KachelY 39992 -0.23886957 0.99908569 -13.686218 57.243393
    Unten links KachelX 60552 KachelY + 1 39993 -0.23891751 0.99905976 -13.688965 57.241908
    Unten rechts KachelX + 1 60553 KachelY + 1 39993 -0.23886957 0.99905976 -13.686218 57.241908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99908569-0.99905976) × R
    2.59300000000628e-05 × 6371000     		dl = 165.2000300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99908569-0.99905976) × R
    2.59300000000628e-05 × 6371000     		dr = 165.2000300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23886957) × cos(0.99908569) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541071445260774 × 6371000     		do = 165.257146561629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23886957) × cos(0.99905976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541093251602872 × 6371000     		du = 165.263806779801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99908569)-sin(0.99905976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541071445260774-0.541093251602872)×R²
    abs(-0.23886957--0.23891751)×2.18063420981407e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18063420981407e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18063420981407e-05×40589641000000     		ar = 27301.0357054419m²