Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60551 / 84120
↖ ↑ ↗
← S 45.383019°
W 13.691711°		 ← 214.48 m → S 45.383019°
W 13.688965°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.384948°
W 13.691711°		 ← 214.47 m →
46 007 m²		 S 45.384948°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461971282958984 y=0.641788482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461971282958984 × 217)
    floor (0.461971282958984 × 131072)
    floor (60551.5)     		tx = 60551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641788482666016 × 217)
    floor (0.641788482666016 × 131072)
    floor (84120.5)     		ty = 84120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60551 / 84120 ti = "17/60551/84120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60551/84120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60551 ÷ 217
    60551 ÷ 131072     		x = 0.461967468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84120 ÷ 217
    84120 ÷ 131072     		y = 0.64178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461967468261719 × 2 - 1) × π
    -0.0760650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23896544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.2835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.890859342539124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23896544} λ = -0.23896544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890859342539124))-π/2
    2×atan(0.41030301038004)-π/2
    2×0.389356607949165-π/2
    0.778713215898331-1.57079632675     		φ = -0.79208311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23896544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.691711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79208311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.383019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60551 KachelY 84120 -0.23896544 -0.79208311 -13.691711 -45.383019
    Oben rechts KachelX + 1 60552 KachelY 84120 -0.23891751 -0.79208311 -13.688965 -45.383019
    Unten links KachelX 60551 KachelY + 1 84121 -0.23896544 -0.79211678 -13.691711 -45.384948
    Unten rechts KachelX + 1 60552 KachelY + 1 84121 -0.23891751 -0.79211678 -13.688965 -45.384948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79208311--0.79211678) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79208311--0.79211678) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23896544--0.23891751) × cos(-0.79208311) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.702364045603044 × 6371000     		do = 214.475310764365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23896544--0.23891751) × cos(-0.79211678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.702340078295648 × 6371000     		du = 214.467992058725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79208311)-sin(-0.79211678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702364045603044-0.702340078295648)×R²
    abs(-0.23891751--0.23896544)×2.39673073963997e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39673073963997e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39673073963997e-05×40589641000000     		ar = 46006.6506691577m²